- Uma partícula inicialmente na posição 5 m e velocidade
, recebe uma aceleração dada pela expressão
, medida no SIU. Determine:
a) os valores da velocidade e da posição desta partícula após
de movimento
b) o instante e a posição em que a partícula inverte o sentido do movimento
a) os valores da velocidade e da posição desta partícula após
b) o instante e a posição em que a partícula inverte o sentido do movimento
Passo 1
O enunciado dá uma partícula com posição inicial e velocidade inicial e fornece a aceleração como função do tempo. As perguntas são:
- (a) Determinar a velocidade e a posição da partícula após
. - (b) Determinar o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento (isto é, quando a velocidade passa por zero) e a posição nesse instante.
Dados fornecidos (todos em SI):
Passo 2
Relação entre aceleração e velocidade: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmula:
Isto significa que para achar
precisamos integrar
em relação a
. Vou usar uma variável de integração
para ficar claro:
Agora substituo
e calculo a integral passo a passo.
Passo 3
Calcular a integral para obter
:
A antiderivada de
é
. Então
Portanto a expressão para a velocidade é
Isto é uma fórmula que vale para qualquer
(no contexto do problema).
Passo 4
Agora respondo a parte (a) — velocidade após
:
substituo em
:
substituo
Interpretação rápida: a aceleração negativa faz a velocidade diminuir com o tempo, mas em
ela ainda é positiva (
), então o movimento ainda é no sentido positivo.
Passo 5
Para obter a posição
usamos que a velocidade é a derivada da posição:
Logo
Substituindo
obtemos a integral
Calculo das antiderivadas: a antiderivada de
é
e de
é
. Portanto
Passo 6
Agora calcule
em
:
(ou, se preferir em fração,
.)
Passo 7
Parte (b): a partícula inverte o sentido do movimento quando a velocidade muda de sinal, isto é, quando
Usando
, resolvo
A raiz cúbica de
é
. Como estamos considerando
, o instante relevante é
Passo 8
Agora encontro a posição nesse instante usando a expressão
. Substituo
:
Interpretação física: em
a velocidade passa por zero (muda de positiva para negativa) e a posição é
.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)