• Uma partícula inicialmente na posição 5 m e velocidade 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, recebe uma aceleração dada pela expressão \mathrm{a}=-3 \mathrm{t}^{2}, medida no SIU. Determine:
    a) os valores da velocidade e da posição desta partícula após 1,0 \mathrm{~s} de movimento
    b) o instante e a posição em que a partícula inverte o sentido do movimento

Passo 1

O enunciado dá uma partícula com posição inicial e velocidade inicial e fornece a aceleração como função do tempo. As perguntas são:
  • (a) Determinar a velocidade e a posição da partícula após \,1,0\\ \mathrm{s}.
  • (b) Determinar o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento (isto é, quando a velocidade passa por zero) e a posição nesse instante.
Dados fornecidos (todos em SI):
x(0)=5\\ \mathrm{m}, \qquad v(0)=8\\ \mathrm{m/s}, \qquad a(t) = -3\,t^{2}\\ (\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 2

Relação entre aceleração e velocidade: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Em fórmula:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Isto significa que para achar v(t) precisamos integrar a(t) em relação a t. Vou usar uma variável de integração t' para ficar claro:
v(t)=v(0)+\int_{0}^{t} a(t')\,dt'.
Agora substituo a(t')=-3{t'}^{2} e calculo a integral passo a passo.

Passo 3

Calcular a integral para obter v(t):
v(t)=8+\int_{0}^{t}(-3{t'}^{2})\,dt'.
A antiderivada de {t'}^{2} é \dfrac{{t'}^{3}}{3}. Então
\int_{0}^{t}(-3{t'}^{2})\,dt' = -3\cdot\left[\frac{{t'}^{3}}{3}\right]_{0}^{t} = -\left[t^{3}-0\right] = -t^{3}.
Portanto a expressão para a velocidade é
v(t)=8 - t^{3}.
Isto é uma fórmula que vale para qualquer t\ge 0 (no contexto do problema).

Passo 4

Agora respondo a parte (a) — velocidade após \,1,0\\ \mathrm{s}:
substituo t=1,0 em v(t):
v(1,0)=8 - (1,0)^{3} = 8 - 1 = 7\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a aceleração negativa faz a velocidade diminuir com o tempo, mas em 1,0\\ \mathrm{s} ela ainda é positiva ( 7\\ \mathrm{m/s}), então o movimento ainda é no sentido positivo.

Passo 5

Para obter a posição x(t) usamos que a velocidade é a derivada da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Logo
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} v(t')\,dt'.
Substituindo v(t')=8 - {t'}^{3} obtemos a integral
x(t)=5+\int_{0}^{t}\big(8 - {t'}^{3}\big)\,dt' = 5 + \int_{0}^{t}8\,dt' - \int_{0}^{t}{t'}^{3}\,dt'.
Calculo das antiderivadas: a antiderivada de 8 é 8t' e de {t'}^{3} é \dfrac{{t'}^{4}}{4}. Portanto
x(t)=5 + \left[8t'\right]_{0}^{t} - \left[\frac{{t'}^{4}}{4}\right]_{0}^{t} = 5 + 8t - \frac{t^{4}}{4}.

Passo 6

Agora calcule x em t=1,0:
x(1,0)=5 + 8\cdot 1,0 - \frac{(1,0)^{4}}{4} = 5 + 8 - \frac{1}{4} = 13 - 0,25 = 12,75\\ \mathrm{m}.
(ou, se preferir em fração, x(1,0)=\dfrac{51}{4}\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Parte (b): a partícula inverte o sentido do movimento quando a velocidade muda de sinal, isto é, quando
v(t)=0.
Usando v(t)=8 - t^{3}, resolvo
8 - t^{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad t^{3}=8.
A raiz cúbica de 8 é 2. Como estamos considerando t\ge 0, o instante relevante é
t=2,0\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Agora encontro a posição nesse instante usando a expressão x(t)=5 + 8t - \dfrac{t^{4}}{4}. Substituo t=2,0:
x(2,0)=5 + 8\cdot 2,0 - \frac{(2,0)^{4}}{4} = 5 + 16 - \frac{16}{4} = 5 + 16 - 4 = 17\\ \mathrm{m}.
Interpretação física: em 2,0\\ \mathrm{s} a velocidade passa por zero (muda de positiva para negativa) e a posição é 17\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v(1,0\,\mathrm{s})=7\\ \mathrm{m/s},\; x(1,0\,\mathrm{s})=12,75\\ \mathrm{m}\n
(b) t=2,0\\ \mathrm{s},\; x(2,0\,\mathrm{s})=17\\ \mathrm{m}

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