• Dada a equação de um movimento unidimensional, cuja posição é dada pela expressão \mathrm{s}=-2+3 \mathrm{t}-\mathrm{t}^{2}+5 \mathrm{t}^{3}, definida no SIU. Determine a equações da velocidade e da aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a posição em função do tempo e pede as equações da velocidade e da aceleração. As informações relevantes são:
s(t) = -2 + 3t - t^{2} + 5t^{3},
definida no SIU (ou seja, s em metros e t em segundos).
O que devemos achar:
  • a equação da velocidade v(t);
  • a equação da aceleração a(t).

Passo 2

O que é velocidade e como a obtemos a partir da posição?
Fisicamente, a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo: quanto a posição muda quando o tempo avança um pouquinho. Matematicamente usamos derivada:
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Aqui s(t) é a posição em metros e t é o tempo em segundos; v(t) terá unidades de metros por segundo (\mathrm{m/s}).

Passo 3

Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar (explicando como aplicá-las na prova):
  • A derivada de uma constante é zero. Ex.: \frac{d}{dt}\text{(C)}=0.
  • Regra do fator constante: \frac{d}{dt}\big(k\cdot f(t)\big)=k\cdot \frac{d}{dt}f(t), onde k é constante.
  • Regra do poder (power rule): \frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1} para n real.
    Usando essas regras, derivamos cada termo de s(t) separadamente.

Passo 4

Derivando termo a termo s(t) = -2 + 3t - t^{2} + 5t^{3}:
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(-2)=0 (constante),
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(3t)=3 (porque \frac{d}{dt}(t)=1 e multiplicamos por 3),
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(-t^{2})=-2t (pela regra do poder: 2t^{1} e o sinal negativo permanece),
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(5t^{3})=5\cdot 3t^{2}=15t^{2} (fator constante 5 vezes a derivada de t^3).
Somando os resultados:
v(t)=0+3-2t+15t^{2}.

Passo 5

Simplificando a expressão da velocidade e anotando unidade:
v(t)=3-2t+15t^{2}\quad\text{(unidade: }\mathrm{m/s}\text{)}.

Passo 6

Agora a aceleração: fisicamente, é a taxa de variação da velocidade no tempo (ou a segunda derivada da posição). Matematicamente:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}.
A aceleração terá unidades de metros por segundo ao quadrado (\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 7

Derivamos v(t)=3-2t+15t^{2} termo a termo:
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(3)=0,
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(-2t)=-2,
  • \displaystyle \frac{d}{dt}(15t^{2})=15\cdot 2t=30t.
Somando:
a(t)=0-2+30t = -2+30t.

Passo 8

Pequena checagem numérica para ganhar confiança (útil na prova para verificar cálculos):
  • Em t=0: v(0)=3\\ \mathrm{m/s} e a(0)=-2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Em t=1: v(1)=3-2+15=16\\ \mathrm{m/s} e a(1)=-2+30=28\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Faz sentido físico: a partir das fórmulas dá para ver como velocidade e aceleração variam com t.

Resposta

v(t)=3-2t+15t^{2}
a(t)=-2+30t

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