- Dada a equação de um movimento unidimensional, cuja posição é dada pela expressão
, definida no SIU. Determine a equações da velocidade e da aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a posição em função do tempo e pede as equações da velocidade e da aceleração. As informações relevantes são:
definida no SIU (ou seja,
em metros e
em segundos).
O que devemos achar:
O que devemos achar:
- a equação da velocidade
; - a equação da aceleração
.
Passo 2
O que é velocidade e como a obtemos a partir da posição?
Fisicamente, a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo: quanto a posição muda quando o tempo avança um pouquinho. Matematicamente usamos derivada:
Fisicamente, a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo: quanto a posição muda quando o tempo avança um pouquinho. Matematicamente usamos derivada:
Aqui
é a posição em metros e
é o tempo em segundos;
terá unidades de metros por segundo
.
Passo 3
Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar (explicando como aplicá-las na prova):
- A derivada de uma constante é zero. Ex.:
. - Regra do fator constante:
, onde é constante. - Regra do poder (power rule):
para real.
Usando essas regras, derivamos cada termo deseparadamente.
Passo 4
Derivando termo a termo
:
-
(constante), -
(porque e multiplicamos por 3), -
(pela regra do poder: e o sinal negativo permanece), -
(fator constante 5 vezes a derivada de ).
Somando os resultados:
Passo 5
Simplificando a expressão da velocidade e anotando unidade:
Passo 6
Agora a aceleração: fisicamente, é a taxa de variação da velocidade no tempo (ou a segunda derivada da posição). Matematicamente:
A aceleração terá unidades de metros por segundo ao quadrado
.
Passo 7
Derivamos
termo a termo:
-
, -
, -
.
Somando:
Passo 8
Pequena checagem numérica para ganhar confiança (útil na prova para verificar cálculos):
- Em
: e . - Em
: e .
Faz sentido físico: a partir das fórmulas dá para ver como velocidade e aceleração variam com.