Um avião voa horizontalmente com velocidade constante de 900 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a uma altura de 490 m . A sua frente e no solo, um veículo se move com velocidade constante de 90 \mathrm{km} / \mathrm{h}. Num dado momento o avião larga uma carga, com o propósito de atingir o veículo com esta carga. A que distância horizontal deve estar o avião do veículo, se este se mover:
no sentido contrário ao avião

Passo 1

O enunciado pede: determinar a que distância horizontal o avião deve estar do veículo no momento em que larga a carga, de modo que a carga atinja o veículo, no caso em que o veículo se move no sentido contrário ao avião.
Informações dadas:
  • Velocidade do avião: \,900\\ \mathrm{km/h}.
  • Altura do avião: \,490\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do veículo: \,90\\ \mathrm{km/h}.
  • O veículo está à frente do avião (na direção do movimento do avião) e se move em sentido contrário ao avião.
  • Desprezamos resistência do ar (a componente horizontal da velocidade da carga permanece igual à do avião no instante da queda).
  • Constante de gravidade: usaremos \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter todas as velocidades para unidades compatíveis com metros e segundos, porque a altura está em metros e a queda usa g em \mathrm{m/s^2}.
Fator de conversão: 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000}{3600} = \dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Convertemos:
v_{\text{avião}} = 900\\ \mathrm{km/h} = 900\cdot \dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 250\\ \mathrm{m/s}.ã
v_{\text{veículo}} = 90\\ \mathrm{km/h} = 90\cdot \dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 25\\ \mathrm{m/s}.í

Passo 3

Calcular o tempo que a carga demora a cair \emph{verticalmente} da altura \,490\\ \mathrm{m} até o solo.
Equação do movimento vertical (queda livre, velocidade inicial vertical zero):
h = \tfrac{1}{2} g t^2,
onde
  • h é a altura inicial ( 490\\ \mathrm{m}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • t é o tempo de queda.
Isolando t:
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}.
Substituindo os números:
t = \sqrt{\dfrac{2\cdot 490}{9{,}8}} = \sqrt{\dfrac{980}{9{,}8}} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{s}.
Comentário pedagógico: esse cálculo mostra que a altura foi escolhida para dar um tempo de queda bem simples, 10 s — o que facilita nas contas da prova.

Passo 4

Agora escrevemos as posições horizontais (ao longo da mesma reta) da carga e do veículo como funções do tempo, usando um referencial simples.
Escolhemos o instante de soltura como t=0.
  • Tomemos a posição horizontal da carga (igual à posição do avião no instante da soltura) como x_{\text{c}}(0)=0.
  • A posição inicial do veículo, à frente do avião, será x_{\text{v}}(0)=L. O L que queremos determinar é a distância horizontal entre avião e veículo no instante da soltura.
  • A carga mantém a componente horizontal da velocidade do avião: v_{\text{c}} = 250\\ \mathrm{m/s} (positiva, para a frente).
  • O veículo, movendo-se em sentido contrário, tem velocidade horizontal igual a -25\\ \mathrm{m/s} (negativa se adotamos frente do avião como positiva).
Portanto:
x_{\text{c}}(t) = 0 + 250\,t = 250\,t.
x_{\text{v}}(t) = L - 25\,t.

Passo 5

Para que a carga atinja o veículo, suas posições horizontais devem coincidir no tempo de impacto t (que já calculamos: 10\\ \mathrm{s}). Assim,
x_{\text{c}}(t)=x_{\text{v}}(t)\quad\text{em }t=10\\ \mathrm{s}.
Substituindo as expressões:
250\cdot 10 = L - 25\cdot 10.

Passo 6

Resolvendo a equação para L:
2500 = L - 250
L = 2500 + 250 = 2750\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • Em 10\\ \mathrm{s} a carga percorre horizontalmente 250\cdot 10 = 2500\\ \mathrm{m} à frente do ponto de soltura.
  • Em 10\\ \mathrm{s} o veículo, vindo em sentido contrário, percorre 25\cdot 10 = 250\\ \mathrm{m} para trás (em direção ao avião).
  • Logo, a separação inicial deve ser 2500 + 250 = 2750\\ \mathrm{m}, o que confere com o cálculo.
Pequeno reforço didático: o truque aqui é separar as duas componentes do movimento — vertical (determina o tempo de queda) e horizontal (movimento relativo entre carga e veículo). A condição de acerto é igualar as posições horizontais no tempo da queda.

Resposta

2750\\ \mathrm{m} (ou 2{,}75\\ \mathrm{km}).

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