- Uma partícula inicialmente em repouso e localizada na origem das posições num plano xy , possui uma aceleração dada por:
Determine para essa partícula:
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) a velocidade média no intervalo (
), seu módulo e ângulo que forma com o semieixo positivo de
. d) a velocidade instantânea no instante
, seu módulo e ângulo que forma com o semieixo positivo dex.
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) a velocidade média no intervalo (
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma partícula que está parada na origem do plano xy e, ao longo do tempo, ela se move de acordo com uma aceleração específica. A equação da aceleração é:
Vamos precisar das fórmulas de integração para passar da aceleração para a velocidade e da velocidade para a posição. Também vamos usar conceitos de velocidade média e como calcular o módulo e o ângulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, queremos encontrar a função velocidade
. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Como a condição inicial é que a partícula está em repouso, a velocidade inicial
é zero.
Vamos integrar cada componente da aceleração:
Para a componente
:
Usando a integral de
, que é
, e considerando a constante de integração sendo zero (já que
):
Ops, parece que houve um erro. Vamos recalcular.
Integrando corretamente:
Como
:
Portanto:
Para a componente
:
Como
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade:
Para a componente
:
Integrando:
Como
:
Então:
Para a componente
:
Como
:
Portanto:
Passo 4
A velocidade média é definida como a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo.
Primeiro, calculamos a posição nos tempos
e
:
Então, a variação da posição
é:
O intervalo de tempo
.
Portanto, a velocidade média
é:
Agora, vamos calcular o módulo dessa velocidade média:
E o ângulo
que ela forma com o eixo positivo de
:
Passo 5
Para encontrar a velocidade instantânea no instante
, usamos a função velocidade que encontramos na parte a):
O módulo dessa velocidade é:
E o ângulo
que ela forma com o eixo positivo de
é:
Como estamos considerando o ângulo com o semieixo positivo de
, e a componente
é negativa, o ângulo efetivo será
.
Resposta
a) A função velocidade é:
b) A função posição é:
c) A velocidade média no intervalo
a
é:
Seu módulo é aproximadamente $ \sqrt{(20 \ln(2) - 20)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} \approx 0,57 m/s $ e forma um ângulo de aproximadamente $ \tan^{-1}\left( \frac{1/3}{20 \ln(2) - 20} \right) $ com o semieixo positivo de
.
d) A velocidade instantânea em
é:
Seu módulo é aproximadamente
e forma um ângulo de aproximadamente
com o semieixo positivo de
.