1. Uma partícula inicialmente em repouso e localizada na origem das posições num plano xy , possui uma aceleração dada por:
a(t)=[-20(t+1)^2 imath+2 t jmath] m cdot s^-2
Determine para essa partícula:
a) a função velocidade;
b) a função posição;
c) a velocidade média no intervalo ( 0 ; 1,0 s ), seu módulo e ângulo que forma com o semieixo positivo de x. d) a velocidade instantânea no instante t=1,0 s, seu módulo e ângulo que forma com o semieixo positivo dex.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma partícula que está parada na origem do plano xy e, ao longo do tempo, ela se move de acordo com uma aceleração específica. A equação da aceleração é:
a(t) = [ -20(t+1)^2 imath + 2 t jmath ] m/s^2
Vamos precisar das fórmulas de integração para passar da aceleração para a velocidade e da velocidade para a posição. Também vamos usar conceitos de velocidade média e como calcular o módulo e o ângulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, queremos encontrar a função velocidade v(t). Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Como a condição inicial é que a partícula está em repouso, a velocidade inicial v(0) é zero.
Vamos integrar cada componente da aceleração:
Para a componente x:
vx(t) = integral ax(t) , dt = integral -20(t+1)^2 , dt
Usando a integral de (t+1)^-2, que é 20t+1, e considerando a constante de integração sendo zero (já que vx(0) = 0):
vx(t) = 20t+1 - 20 cdot 1t+1 = 20t+1 - 20t+1 = 0
Ops, parece que houve um erro. Vamos recalcular.
Integrando corretamente:
vx(t) = integral -20(t+1)^2 , dt = 20t+1 + C
Como vx(0) = 0:
0 = 200+1 + C implies C = -20
Portanto:
vx(t) = 20t+1 - 20
Para a componente y:
vy(t) = integral ay(t) , dt = integral 2t , dt = t^2 + C
Como vy(0) = 0:
0 = 0^2 + C implies C = 0
Portanto:
vy(t) = t^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição r(t) integrando a velocidade:
Para a componente x:
x(t) = integral vx(t) , dt = integral ( 20t+1 - 20 ) dt
Integrando:
x(t) = 20 ln(t+1) - 20t + C
Como x(0) = 0:
0 = 20 ln(1) - 0 + C implies C = 0
Então:
x(t) = 20 ln(t+1) - 20t
Para a componente y:
y(t) = integral vy(t) , dt = integral t^2 , dt = t^33 + C
Como y(0) = 0:
0 = 0 + C implies C = 0
Portanto:
y(t) = t^33

Passo 4

A velocidade média é definida como a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo.
Primeiro, calculamos a posição nos tempos t = 0 e t = 1:
r(0) = (0, 0)
r(1) = ( 20 ln(2) - 20 cdot 1, 1^33 ) = ( 20 ln(2) - 20, 13 )
Então, a variação da posição De é:
De
O intervalo de tempo De.
Portanto, a velocidade média vmédiaé é:
vmédia = Deé
Agora, vamos calcular o módulo dessa velocidade média:
|vmédia| = raiz(20 ln(2) - 20)^2 + ( 13 )^2 é
E o ângulo theta que ela forma com o eixo positivo de x:
theta = tan^-1 ( 1320 ln(2) - 20 )

Passo 5

Para encontrar a velocidade instantânea no instante t = 1,0 ; s, usamos a função velocidade que encontramos na parte a):
v(1) = ( 201+1 - 20, (1)^2 ) = ( 10 - 20, 1 ) = (-10, 1) m/s
O módulo dessa velocidade é:
|v(1)| = raiz(-10)^2 + 1^2 = raiz100 + 1 = raiz101 approx 10,05 m/s
E o ângulo theta que ela forma com o eixo positivo de x é:
theta = tan^-1 ( 1-10 ) = tan^-1(-0,1) approx -5,71^circ
Como estamos considerando o ângulo com o semieixo positivo de x, e a componente x é negativa, o ângulo efetivo será 180^circ - 5,71^circ = 174,29^circ.

Resposta

a) A função velocidade é:
v(t) = ( 20t+1 - 20 ) imath + t^2 jmath m/s
b) A função posição é:
r(t) = ( 20 ln(t+1) - 20t ) imath + t^33 jmath m
c) A velocidade média no intervalo 0 a 1,0 ; s é:
vmédia = ( 20 ln(2) - 20, 13 ) m/s é
Seu módulo é aproximadamente $ \sqrt{(20 \ln(2) - 20)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} \approx 0,57 m/s $ e forma um ângulo de aproximadamente $ \tan^{-1}\left( \frac{1/3}{20 \ln(2) - 20} \right) $ com o semieixo positivo de raiz(20 ln(2) - 20)^2 + ( 13 )^2 approx 0,57 m/s .
d) A velocidade instantânea em tan^-1( 1/320 ln(2) - 20 ) é:
x
Seu módulo é aproximadamente t = 1,0 ; s e forma um ângulo de aproximadamente v(1) = (-10, 1) m/s com o semieixo positivo de 10,05 m/s.

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