Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10 s em linha reta, com aceleração crescente dada por a=5-b t, onde t é o tempo em segundos e b= 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}. Determine:
a) as funções velocidade e posição em função do tempo;
b) a velocidade máxima atingida;
c) A posição em que a partícula inverte o sentido se seu movimento (ponto de retorno);
d) Trace os gráficos da velocidade e da posição em função do tempo.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula parte do repouso na origem v(0)=0, x(0)=0 e tem aceleração
a(t)=5 - b\,t,
com b=0,5, \mathrm{m/s^3}. O que precisamos é:
a) integrar a(t) para achar v(t) e, em seguida, integrar v(t) para achar x(t);
b) achar o valor máximo de v(t);
c) encontrar o instante em que v(t)=0 (além de t=0) e calcular x nesse instante;
d) esboçar qualitativamente os gráficos de v(t) e x(t).

Passo 2

Integramos a aceleração para obter a velocidade. Como
\frac{dv}{dt}=a(t)=5 - b\,t,
temos, por integração indefinida,
v(t)=\int\!(5 - b\,t)\,dt = 5\,t - \frac{b}{2}\,t^2 + C.
Usando a condição inicial v(0)=0 fica C=0. Assim
v(t)=5\,t - \frac{b}{2}\,t^2.
Substituindo b=0,5 obtém-se
\boxed{v(t)=5\,t - 0,25\,t^2\quad(\mathrm{m/s}).}

Passo 3

Agora integramos v(t) para achar x(t). Como
\frac{dx}{dt}=v(t)=5\,t - \frac{b}{2}\,t^2,
temos
x(t)=\int\!\Bigl(5\,t - \frac{b}{2}\,t^2\Bigr)\,dt = \frac{5}{2}\,t^2 - \frac{b}{6}\,t^3 + C'.
Usando x(0)=0 vem C'=0. Substituindo b=0,5
\boxed{x(t)=\frac{5}{2}\,t^2 - \frac{1}{12}\,t^3\quad(\mathrm{m}).}

Passo 4

A velocidade máxima ocorre quando dv/dt=0, ou seja, quando a(t)=0.
5 - b\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad t_{\max}=\frac{5}{b}=\frac{5}{0,5}=10\\ \mathrm{s}.
O valor máximo de v é
v(10)=5\cdot10 - 0,25\cdot10^2=50 - 25=25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para achar o ponto de retorno resolvemos v(t)=0 além de t=0:
5\,t - 0,25\,t^2 = t\,(5 - 0,25\,t)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0\\ \text{ou}\\ t= \frac{5}{0,25}=20\\ \mathrm{s}.
No instante t=20,s a partícula inverte o movimento. A posição nesse instante é
x(20)=\frac{5}{2}\,20^2 - \frac{1}{12}\,20^3 = \frac{5}{2}\cdot400 - \frac{1}{12}\cdot8000 =1000 - \frac{8000}{12} =\frac{1000}{3}\approx333{,}33\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Os gráficos são os seguintes:
  • v(t)=5t-0,25t^2 é uma parábola côncava para baixo que parte de v(0)=0, atinge v_{\max}=25,m/s em t=10 s, e volta a zero em t=20 s.
  • x(t)=\tfrac{5}{2}t^2-\tfrac{1}{12}t^3 é um polinômio de grau 3 que cresce a partir de zero, tem inflexão em t=10 s (quando a aceleração muda de positiva para negativa) e atinge máximo em t=20 s, voltando a decrescer depois desse ponto.

Resposta

a) \displaystyle v(t)=5\,t-0,25\,t^2, \displaystyle x(t)=\tfrac{5}{2}\,t^2-\tfrac{1}{12}\,t^3.
b) v_{\max}=25,m/s em t=10 s.
c) ponto de retorno em t=20 s, com x(20)=\tfrac{1000}{3}\approx333{,}33,m.
d) gráfico de v(t) é parábola côncava para baixo; gráfico de x(t) é cúbica com inflexão em t=10 s e máximo em t=20 s.

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