Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10 s em linha reta, com aceleração crescente dada por
, onde t é o tempo em segundos e
. Determine:
a) as funções velocidade e posição em função do tempo;
b) a velocidade máxima atingida;
c) A posição em que a partícula inverte o sentido se seu movimento (ponto de retorno);
d) Trace os gráficos da velocidade e da posição em função do tempo.
a) as funções velocidade e posição em função do tempo;
b) a velocidade máxima atingida;
c) A posição em que a partícula inverte o sentido se seu movimento (ponto de retorno);
d) Trace os gráficos da velocidade e da posição em função do tempo.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula parte do repouso na origem
,
e tem aceleração
com
,
. O que precisamos é:
a) integrar para achar
e, em seguida, integrar
para achar
;
b) achar o valor máximo de ;
c) encontrar o instante em que (além de
) e calcular
nesse instante;
d) esboçar qualitativamente os gráficos de e
.
a) integrar
b) achar o valor máximo de
c) encontrar o instante em que
d) esboçar qualitativamente os gráficos de
Passo 2
Integramos a aceleração para obter a velocidade. Como
temos, por integração indefinida,
Usando a condição inicial
fica
. Assim
Substituindo
obtém-se
Passo 3
Agora integramos
para achar
. Como
temos
Usando
vem
. Substituindo
dá
Passo 4
A velocidade máxima ocorre quando
, ou seja, quando
.
O valor máximo de
é
Passo 5
Para achar o ponto de retorno resolvemos
além de
:
No instante
,s a partícula inverte o movimento. A posição nesse instante é
Passo 6
Os gráficos são os seguintes:
-
é uma parábola côncava para baixo que parte de , atinge ,m/s em s, e volta a zero em s. -
é um polinômio de grau 3 que cresce a partir de zero, tem inflexão em s (quando a aceleração muda de positiva para negativa) e atinge máximo em s, voltando a decrescer depois desse ponto.
Resposta
a)
,
.
b) ,m/s em
s.
c) ponto de retorno em s, com
,m.
d) gráfico de é parábola côncava para baixo; gráfico de
é cúbica com inflexão em
s e máximo em
s.
b)
c) ponto de retorno em
d) gráfico de