Uma partícula é lançada do topo de um prédio de 10,0 \mathrm{~m} de altura e leva 5,0 \mathrm{~s} para atingir o solo. (a) Calcule a velocidade inicial do lançamento, (b) a altura atingida acima do topo do prédio e (c) a velocidade ao atingir o solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Dados fornecidos:
    • Altura do prédio (distância do ponto de lançamento ao solo): \,10{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Tempo total de queda desde o lançamento até atingir o solo: \,5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Calcular a velocidade inicial do lançamento.
    • (b) Calcular a altura máxima atingida acima do topo do prédio (ou seja, quanto sobe além do ponto de lançamento).
    • (c) Calcular a velocidade da partícula ao atingir o solo (módulo e direção).

Passo 2

Escolha de convenções e definição das variáveis (importante para não se perder com sinais).
  • Vou adotar o eixo vertical positivo para cima.
  • Variáveis que usarei:
    • v_0: velocidade inicial (desconhecida, a achar no item (a)); sentido positivo para cima.
    • t: tempo total até o impacto, t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
    • \Delta y: deslocamento vertical do ponto de lançamento até o solo. Como o solo fica abaixo do ponto de lançamento, \Delta y = -10{,}0\\ \mathrm{m}.
    • a: aceleração vertical devido à gravidade. Com o eixo para cima, a=-g com g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}. Então a=-9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
Explicação curta do porquê do sinal: a gravidade puxa para baixo; como escolhemos cima como positivo, a aceleração fica negativa.

Passo 3

Equação de movimento que relaciona deslocamento, velocidade inicial, aceleração e tempo.
A equação básica do movimento uniformemente acelerado (na direção vertical) é
\Delta y = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde
  • \Delta y é o deslocamento vertical total (posição final menos posição inicial),
  • v_0 é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração (aqui a=-9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}),
  • t é o tempo decorrido.
Substituindo os valores conhecidos:
-10{,}0 = v_0\cdot 5{,}0 + \tfrac{1}{2}(-9{,}80)\cdot (5{,}0)^2.
Calculemos passo a passo o termo da aceleração:
\tfrac{1}{2}a t^2 = \tfrac{1}{2}\,(-9{,}80)\,(5{,}0)^2 = \tfrac{1}{2}\,(-9{,}80)\,25 = -122{,}5\\ \mathrm{m}.
Então a equação fica
-10{,}0 = 5{,}0\,v_0 - 122{,}5.
Isolando v_0:
5{,}0\,v_0 = -10{,}0 + 122{,}5 = 112{,}5,
v_0 = \frac{112{,}5}{5{,}0} = 22{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação do sinal: v_0 saiu positivo, ou seja, a velocidade inicial foi de 22{,}5\\ \mathrm{m/s} para cima.

Passo 4

Altura máxima acima do topo do prédio (quanto sobe além do ponto de lançamento).
Quando a partícula atinge a altura máxima a velocidade vertical é zero. Usamos a relação
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y,
com v=0 no ponto mais alto; aí o deslocamento até o máximo (chamemos de \Delta y_{\max}) satisfaz
0 = v_0^2 + 2 a \Delta y_{\max}.
Isolando \Delta y_{\max}:
\Delta y_{\max} = -\frac{v_0^2}{2a}.
Como a=-g, isso equivale à forma familiar
\Delta y_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}.
Substituindo v_0=22{,}5\\ \mathrm{m/s} e g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}:
v_0^2 = (22{,}5)^2 = 506{,}25\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
\Delta y_{\max} = \frac{506{,}25}{2\cdot 9{,}80} = \frac{506{,}25}{19{,}6}\approx 25{,}8\\ \mathrm{m}.
Explicação prática: a partícula sobe cerca de 25{,}8\\ \mathrm{m} acima do ponto de lançamento (ou seja, essa é a elevação máxima adicional além do topo do prédio).

Passo 5

Velocidade ao atingir o solo.
Método direto (fácil): usar a fórmula da velocidade em função do tempo,
v = v_0 + a t.
Substituindo v_0=22{,}5\\ \mathrm{m/s}, a=-9{,}80\\ \mathrm{m/s^2} e t=5{,}0\\ \mathrm{s}:
v = 22{,}5 + (-9{,}80)\cdot 5{,}0 = 22{,}5 - 49{,}0 = -26{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo (no sentido negativo escolhido). O módulo da velocidade ao impacto é 26{,}5\\ \mathrm{m/s}, direção para baixo.
Checagem alternativa (usada frequentemente na prova): usar
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y,
com \Delta y=-10{,}0\\ \mathrm{m}. Calculando:
v^2 = 506{,}25 + 2\cdot(-9{,}80)\cdot(-10{,}0)=506{,}25+196{,}0=702{,}25,
v=\pm\sqrt{702{,}25}= \pm 26{,}5.
Escolhe-se o sinal negativo (para baixo), então v=-26{,}5\\ \mathrm{m/s}, consistindo com o resultado anterior.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo.
  • Encontramos que a partícula foi lançada para cima com velocidade inicial de 22{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Ela sobe mais 25{,}8\\ \mathrm{m} acima do topo do prédio antes de começar a cair.
  • Ao atingir o solo sua velocidade é de 26{,}5\\ \mathrm{m/s} para baixo.
Mandou bem ao chegar até aqui — essas contas seguem sempre as mesmas fórmulas; com prática ficam automáticas!

Resposta

(a) v_0 = 22{,}5\\ \mathrm{m/s} (para cima)
(b) \Delta y_{\max} = 25{,}8\\ \mathrm{m} (acima do topo)
(c) v_{\text{impacto}} = 26{,}5\\ \mathrm{m/s} (para baixo)

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