Uma partícula é lançada do topo de um prédio de
de altura e leva
para atingir o solo. (a) Calcule a velocidade inicial do lançamento, (b) a altura atingida acima do topo do prédio e (c) a velocidade ao atingir o solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
-
Dados fornecidos:
- Altura do prédio (distância do ponto de lançamento ao solo):
. - Tempo total de queda desde o lançamento até atingir o solo:
.
- Altura do prédio (distância do ponto de lançamento ao solo):
-
O que o enunciado pede:
- (a) Calcular a velocidade inicial do lançamento.
- (b) Calcular a altura máxima atingida acima do topo do prédio (ou seja, quanto sobe além do ponto de lançamento).
- (c) Calcular a velocidade da partícula ao atingir o solo (módulo e direção).
Passo 2
Escolha de convenções e definição das variáveis (importante para não se perder com sinais).
- Vou adotar o eixo vertical positivo para cima.
- Variáveis que usarei:
-
: velocidade inicial (desconhecida, a achar no item (a)); sentido positivo para cima. -
: tempo total até o impacto, . -
: deslocamento vertical do ponto de lançamento até o solo. Como o solo fica abaixo do ponto de lançamento, . -
: aceleração vertical devido à gravidade. Com o eixo para cima, com . Então .
-
Explicação curta do porquê do sinal: a gravidade puxa para baixo; como escolhemos cima como positivo, a aceleração fica negativa.
Passo 3
Equação de movimento que relaciona deslocamento, velocidade inicial, aceleração e tempo.
A equação básica do movimento uniformemente acelerado (na direção vertical) é
onde
-
é o deslocamento vertical total (posição final menos posição inicial), -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração (aqui ), -
é o tempo decorrido.
Substituindo os valores conhecidos:
Calculemos passo a passo o termo da aceleração:
Então a equação fica
Isolando
:
Interpretação do sinal:
saiu positivo, ou seja, a velocidade inicial foi de
para cima.
Passo 4
Altura máxima acima do topo do prédio (quanto sobe além do ponto de lançamento).
Quando a partícula atinge a altura máxima a velocidade vertical é zero. Usamos a relação
com
no ponto mais alto; aí o deslocamento até o máximo (chamemos de
) satisfaz
Isolando
:
Como
, isso equivale à forma familiar
Substituindo
e
:
Explicação prática: a partícula sobe cerca de
acima do ponto de lançamento (ou seja, essa é a elevação máxima adicional além do topo do prédio).
Passo 5
Velocidade ao atingir o solo.
Método direto (fácil): usar a fórmula da velocidade em função do tempo,
Substituindo
,
e
:
Interpretação do sinal: o valor negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo (no sentido negativo escolhido). O módulo da velocidade ao impacto é
, direção para baixo.
Checagem alternativa (usada frequentemente na prova): usar
com
. Calculando:
Escolhe-se o sinal negativo (para baixo), então
, consistindo com o resultado anterior.
Passo 6
Resumo rápido e incentivo.
- Encontramos que a partícula foi lançada para cima com velocidade inicial de
. - Ela sobe mais
acima do topo do prédio antes de começar a cair. - Ao atingir o solo sua velocidade é de
para baixo.
Mandou bem ao chegar até aqui — essas contas seguem sempre as mesmas fórmulas; com prática ficam automáticas!
Resposta
(a)
(para cima)
(b) (acima do topo)
(c) (para baixo)
(b)
(c)