A velocidade de uma partícula é dada, em centímetros por segundo, por v=A+B t+C t^{2}, com o tempo dado em segundos. (a) Qual a unidade das constantes A, B e C ? (b) Qual o significado físico da constante A ? (c) Medidas mostraram que no início do movimento, a velocidade da partícula era de 3,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e ela estava momentaneamente em repouso nos instantes t=1,0 \mathrm{~s} e t=3,0 \mathrm{~s}. Com base nessas informações, determine o valor das constantes A, B e C e determine a velocidade da partícula em t=5,0 \mathrm{~s}. (d) Calcule a aceleração da partícula. Tal aceleração é constante ou variável? Justifique. (e) Obtenha a posição da partícula como função do tempo sabendo que ela partiu da origem. (f) Determine a velocidade e a aceleração da partícula ao passar novamente pela origem. (g) Mostre que a partícula apresenta um valor mínimo em sua velocidade e calcule esse valor mínimo.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula em centímetros por segundo como função do tempo (em segundos):
v(t)=A+B\,t+C\,t^{2}.
As perguntas pedidas são:
(a) Qual a unidade de A,B,C?
(b) Qual o significado físico da constante A?
(c) Sabendo que no início do movimento a velocidade era 3{,}0\\ \mathrm{cm/s} e que v(1{,}0\\ \mathrm{s})=0 e v(3{,}0\\ \mathrm{s})=0, determinar A,B,C e calcular v(5{,}0\\ \mathrm{s}).
(d) Calcular a aceleração da partícula e dizer se ela é constante ou variável, justificando.
(e) Obter a posição x(t) sabendo que a partícula parte da origem (x(0)=0).
(f) Determinar a velocidade e a aceleração quando a partícula passa novamente pela origem.
(g) Mostrar que a velocidade apresenta um valor mínimo e calcular esse valor mínimo.
Informações relevantes coletadas do enunciado:
A função dada é v(t)=A+B\,t+C\,t^{2} com v em \mathrm{cm/s} e t em \mathrm{s}.
(a) Determinar as unidades de A,B,C por análise dimensional.
Explicação do raciocínio (o que é análise dimensional): a unidade do lado esquerdo da equação tem que coincidir com a unidade do lado direito. Aqui v tem unidade \mathrm{cm/s}. Cada termo do polinômio em t deve ter a mesma unidade \mathrm{cm/s}.
O termo A aparece sozinho, portanto A tem a unidade de v. Conclui-se:
\text{unidade de }A = \mathrm{cm/s}.
O termo B\,t deve ter unidade \mathrm{cm/s}. Como t tem unidade \mathrm{s}, a unidade de B deve satisfazer (\text{unidade de }B)\times\mathrm{s}=\mathrm{cm/s}. Portanto
\text{unidade de }B = \mathrm{cm/s^{2}}.
O termo C\,t^{2} deve ter unidade \mathrm{cm/s}. Como t^{2} tem unidade \mathrm{s^{2}}, a unidade de C deve satisfazer (\text{unidade de }C)\times\mathrm{s^{2}}=\mathrm{cm/s}. Portanto
\text{unidade de }C = \mathrm{cm/s^{3}}.
Comentário intuitivo: B tem a mesma unidade que uma aceleração (cm/s^2) porque multiplica tempo e dá velocidade; C tem unidade de “variação de aceleração por unidade de tempo” (às vezes chamado de jerk) em cm/s^3.
Passo 3
(b) Significado físico de A.
Explicação passo a passo: avaliar v(t) no instante inicial t=0. Substituindo t=0 na expressão
v(0)=A+B\cdot 0 + C\cdot 0^{2}=A.
Logo A é a velocidade da partícula no instante t=0, ou seja, a velocidade inicial. Em palavras: A é a velocidade quando o relógio começa a contar.
Passo 4
(c) Determinar A,B,C usando as informações fornecidas e calcular v(5{,}0\\ \mathrm{s}).
Passo a passo para resolver o sistema:
Já sabemos pela condição inicial que
v(0)=A=3{,}0\\ \mathrm{cm/s}.
As outras duas condições dadas são
v(1)=A+B+C=0,
v(3)=A+3B+9C=0.
Substituir A=3 nas duas equações restantes:
3+B+C=0 \quad\Rightarrow\quad B+C=-3. \tag{1}
3+3B+9C=0 \quad\Rightarrow\quad 3B+9C=-3. \tag{2}
Resolver o sistema (1)-(2). Divida a equação (2) por 3 para facilitar:
(d) Calcular a aceleração e dizer se é constante ou variável.
Conceito usado (aula rápida): aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja é a derivada de v(t) em relação a t: a(t)=\dfrac{dv}{dt}. A derivada de um polinômio é feita termo a termo: a derivada de A é 0, de B\,t é B, de C\,t^{2} é 2C\,t.
Aplicando isso:
a(t)=\frac{dv}{dt}=B+2C\,t.
Substituindo B=-4 e C=1:
a(t)=-4+2t\\ \mathrm{cm/s^{2}}.
Justificação se é constante ou não: como a(t) depende explicitamente de t (há o termo 2t), a aceleração varia com o tempo, portanto não é constante. Uma maneira alternativa de ver: se C\neq 0 a aceleração depende de t; só seria constante se C=0.
Passo 6
(e) Obter a posição x(t) com x(0)=0.
Conceito usado (aula rápida): posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Integrar um polinômio termo a termo: \int A\,dt = A t, \int B t\,dt = \tfrac{B}{2} t^{2}, \int C t^{2}\,dt = \tfrac{C}{3} t^{3}. Acrescenta-se uma constante de integração x(0).
Fazendo a integral:
x(t)=\int v(t)\,dt = \int (A+B t + C t^{2})\,dt = A t + \frac{B}{2}t^{2} + \frac{C}{3}t^{3} + x(0).
Assim, ao retornar à origem em t=3{,}0\\ \mathrm{s} a velocidade é 0\\ \mathrm{cm/s} e a aceleração é 2\\ \mathrm{cm/s^{2}}.
Observação física: a raiz dupla indica que a partícula chega à origem com velocidade nula e muda de sentido (ou fica instantaneamente parada) dependendo do sinal da aceleração; aqui a aceleração positiva sugere que, naquele instante, a velocidade está a tender para valores positivos após t=3.
Passo 8
(g) Mostrar que a velocidade apresenta um valor mínimo e calcular esse valor mínimo.
Método 1 (derivada): Para extremizar v(t) calculamos dv/dt e igualamos a zero. Já sabemos que
\frac{dv}{dt}=a(t)=B+2C t = -4 + 2t.
Resolver a(t)=0 dá
-4+2t=0 \quad\Rightarrow\quad t=2\\ \mathrm{s}.
Para garantir que é mínimo, olhar a segunda derivada de v: \dfrac{d^{2}v}{dt^{2}}=\dfrac{da}{dt}=2C. Como C=1>0, a segunda derivada é positiva (2>0), logo o ponto crítico em t=2 é um mínimo.
Interpretação: a velocidade mínima é -1\\ \mathrm{cm/s} ocorrendo em t=2\\ \mathrm{s}. O sinal negativo indica que naquele intervalo a partícula está se movendo no sentido oposto (velocidade direcionada negativamente).
Resposta
(a) \text{unidade de }A=\mathrm{cm/s},\\ \text{unidade de }B=\mathrm{cm/s^{2}},\\ \text{unidade de }C=\mathrm{cm/s^{3}}
(b) A é a velocidade inicial: v(0)=A (velocidade da partícula no instante t=0)