Uma bola é lançada do chão em direção a um aro distante de
, situado a
de altura, com um ângulo de
de inclinação com a horizontal. Calcule: (a) a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola; (b) o instante em que a bola atinge o aro; (c) a velocidade da bola ao atingir o aro.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos do enunciado):
- A distância horizontal do ponto de lançamento até o aro é
. - A altura do aro em relação ao chão é
. - O ângulo de lançamento em relação à horizontal é
.
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade inicialque deve ser dada à bola;
(b) o instanteem que a bola atinge o aro;
(c) a velocidade da bola ao atingir o aro (módulo e, se for útil, componentes).
Adoto a aceleração da gravidade(valor padrão).
Passo 2
Modelagem e equações de movimento (linha-a-linha, sem pular passos).
Escolho um sistema de coordenadas com origem no ponto de lançamento: eixo horizontal positivo na direção do aro e eixo
vertical positivo para cima. A velocidade inicial
tem componentes:
Escolho um sistema de coordenadas com origem no ponto de lançamento: eixo
onde
. Para um projétil sem resistência do ar as equações do movimento são (posição em função do tempo):
Essas duas equações serão usadas com as condições em que
e
.
Passo 3
Expressar
em termos de
a partir da equação horizontal.
Da equação horizontal:
Da equação horizontal:
logo
Essa expressão nos dá o instante em que a bola está na horizontal do aro, em função de
. Agora vamos substituir essa
na equação vertical para obter uma equação só em
.
Passo 4
Substituir
na equação vertical e isolar
.
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Simplifico o primeiro termo (o
cancela) e deixo claro cada passo:
Isolando o termo que contém
:
Invertendo e resolvendo para
:
Essa fórmula nos dá
diretamente em função de
,
e os números do enunciado. Agora vamos calcular numericamente.
Passo 5
Cálculo numérico de
(detalhando as contas).
Primeiro valores trigonométricos para :
Primeiro valores trigonométricos para
Calculo passo a passo do denominador em
:
Agora o numerador:
Substituindo em
:
Portanto
Arredondando com as cifras razoáveis dos dados (3 algarismos significativos):
Passo 6
Calcular o instante
usando a equação horizontal.
Usando e
:
Usando
Arredondando:
Passo 7
Velocidade da bola ao atingir o aro (componentes, módulo e direção).
A componente horizontal da velocidade é constante:
A componente horizontal da velocidade é constante:
A componente vertical no instante
é
Calculo:
logo
O sinal negativo indica que a bola está com velocidade para baixo ao atingir o aro. O módulo da velocidade é
A direção (ângulo abaixo da horizontal) pode ser obtida por
ou seja,
abaixo da horizontal.
Resposta
(a)
(b)
(c) (componentes:
,
; direção
abaixo da horizontal)
(b)
(c)