Uma bola é lançada do chão em direção a um aro distante de 5,00 \mathrm{~m}, situado a 2,30 \mathrm{~m} de altura, com um ângulo de 60,0^{\circ} de inclinação com a horizontal. Calcule: (a) a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola; (b) o instante em que a bola atinge o aro; (c) a velocidade da bola ao atingir o aro.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos do enunciado):
  • A distância horizontal do ponto de lançamento até o aro é \,5,00\\ \mathrm{m}.
  • A altura do aro em relação ao chão é \,2,30\\ \mathrm{m}.
  • O ângulo de lançamento em relação à horizontal é \,60,0^\circ.
    O que o enunciado pede:
    (a) a velocidade inicial v_0 que deve ser dada à bola;
    (b) o instante t em que a bola atinge o aro;
    (c) a velocidade da bola ao atingir o aro (módulo e, se for útil, componentes).
    Adoto a aceleração da gravidade \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).

Passo 2

Modelagem e equações de movimento (linha-a-linha, sem pular passos).
Escolho um sistema de coordenadas com origem no ponto de lançamento: eixo x horizontal positivo na direção do aro e eixo y vertical positivo para cima. A velocidade inicial v_0 tem componentes:
v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta,
onde \theta=60,0^\circ. Para um projétil sem resistência do ar as equações do movimento são (posição em função do tempo):
x(t) = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\;t,
y(t) = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2 = v_0\sin\theta\;t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Essas duas equações serão usadas com as condições em que x=5,00\\ \mathrm{m} e y=2,30\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Expressar t em termos de v_0 a partir da equação horizontal.
Da equação horizontal:
x(t)=5,00\\ \mathrm{m}=v_0\cos\theta\;t
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t=\frac{5,00}{v_0\cos\theta}.
Essa expressão nos dá o instante em que a bola está na horizontal do aro, em função de v_0. Agora vamos substituir essa t na equação vertical para obter uma equação só em v_0.

Passo 4

Substituir t na equação vertical e isolar v_0.
Substituindo t em y(t)=2,30\\ \mathrm{m} obtemos
2,30 = v_0\sin\theta\left(\frac{5,00}{v_0\cos\theta}\right) - \tfrac{1}{2} g \left(\frac{5,00}{v_0\cos\theta}\right)^2.
Simplifico o primeiro termo (o v_0 cancela) e deixo claro cada passo:
2,30 = 5,00\tan\theta - \tfrac{1}{2} g \,\frac{25{,}00}{v_0^2\cos^2\theta}.
Isolando o termo que contém v_0^2:
\tfrac{1}{2} g \,\frac{25{,}00}{v_0^2\cos^2\theta} = 5,00\tan\theta - 2,30.
Invertendo e resolvendo para v_0^2:
v_0^2 = \frac{\tfrac{1}{2} g \cdot 25{,}00}{\cos^2\theta\;\bigl(5{,}00\tan\theta - 2,30\bigr)}.
Essa fórmula nos dá v_0^2 diretamente em função de \theta, g e os números do enunciado. Agora vamos calcular numericamente.

Passo 5

Cálculo numérico de v_0 (detalhando as contas).
Primeiro valores trigonométricos para \theta=60,0^\circ:
\cos 60,0^\circ = 0,500,\qquad \tan 60,0^\circ = \sqrt{3}\approx 1,7320508.
Calculo passo a passo do denominador em v_0^2:
5{,}00\tan\theta = 5{,}00\times 1{,}7320508 \approx 8{,}660254.
5{,}00\tan\theta - 2{,}30 \approx 8{,}660254 - 2{,}30 = 6{,}360254.
\cos^2\theta = (0,500)^2 = 0{,}250.
Agora o numerador:
\tfrac{1}{2}g\cdot 25{,}00 = 0{,}5\times 9{,}80\times 25{,}00 = 122{,}5.
Substituindo em v_0^2:
v_0^2 = \frac{122{,}5}{0{,}250\times 6{,}360254} = \frac{122{,}5}{1{,}5900635}\approx 77{,}046.
Portanto
v_0 = \sqrt{77{,}046}\approx 8{,}776\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com as cifras razoáveis dos dados (3 algarismos significativos):
v_0 \approx 8{,}78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o instante t usando a equação horizontal.
Usando t=\dfrac{5{,}00}{v_0\cos\theta} e v_0\approx 8{,}776\\ \mathrm{m/s}:
t = \frac{5{,}00}{8{,}776\times 0{,}500} = \frac{5{,}00}{4{,}388} \approx 1{,}140\\ \mathrm{s}.
Arredondando:
t \approx 1{,}14\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Velocidade da bola ao atingir o aro (componentes, módulo e direção).
A componente horizontal da velocidade é constante:
v_x = v_{0x} = v_0\cos\theta \approx 8{,}776\times 0{,}500 = 4{,}388\\ \mathrm{m/s}.
A componente vertical no instante t é
v_y = v_{0y} - g t = v_0\sin\theta - g t.
Calculo:
v_0\sin\theta \approx 8{,}776\times 0{,}8660254 \approx 7{,}598,
g t \approx 9{,}80\times 1{,}140 \approx 11{,}172,
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v_y \approx 7{,}598 - 11{,}172 = -3{,}574\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a bola está com velocidade para baixo ao atingir o aro. O módulo da velocidade é
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \approx \sqrt{4{,}388^2 + (-3{,}574)^2}\approx 5{,}66\\ \mathrm{m/s}.
A direção (ângulo abaixo da horizontal) pode ser obtida por
\varphi = \arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \approx \arctan\!\left(\frac{-3{,}574}{4{,}388}\right) \approx -39{,}4^\circ,
ou seja, 39{,}4^\circ abaixo da horizontal.

Resposta

(a) v_0 \approx 8{,}78\\ \mathrm{m/s}
(b) t \approx 1{,}14\\ \mathrm{s}
(c) v \approx 5{,}66\\ \mathrm{m/s} (componentes: v_x\approx 4{,}39\\ \mathrm{m/s}, v_y\approx -3{,}57\\ \mathrm{m/s}; direção \approx 39{,}4^\circ abaixo da horizontal)

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