Uma partícula é lançada com velocidade inicial \vec{v}_{0} fazendo um ângulo de \mathbf{3 0}^{0} acima da horizontal, de um prédio com altura H em relação ao solo. Despreze os efeitos da resistência do ar. Em relação à situação descrita é correto afirmar que:

Escolha uma ou mais:

□ O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura H é \boldsymbol{v}_{0}.
  • O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que \boldsymbol{v}_{0}.
  • O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H.
  • No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
  • O módulo da componente horizontal \left(\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{x}}\right) da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que \boldsymbol{v}_{\mathbf{0}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
  • Uma partícula é lançada com velocidade inicial \vec{v}_{0} fazendo um ângulo de \,30^\circ acima da horizontal, a partir de um prédio cuja base está a uma altura H em relação ao solo.
  • Despreza-se resistência do ar (portanto forças conservativas apenas: peso).
    O enunciado pede que se indique quais das afirmações listadas são corretas.
As afirmações a avaliar são (reescrevendo-as para ficar claro):
A1) O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura H é \,v_{0}.
A2) O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que \,v_{0}.
A3) O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H (isto é, solta sem velocidade inicial).
A4) No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
A5) O módulo da componente horizontal \bigl(v_x\bigr) da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que \,v_{0}.

Passo 2

Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é fundamental para todo movimento de projéteis.
Definição e uso:
  • A componente horizontal da velocidade inicial é \,v_{x0}=v_{0}\cos 30^\circ.
  • A componente vertical inicial é \,v_{y0}=v_{0}\sin 30^\circ.
Valores numéricos úteis (lembrando identidades trigonométricas básicas):
\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
v_{x0}=v_{0}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad v_{y0}=v_{0}\cdot\tfrac{1}{2}.
Comentário didático rápido: em projéteis sem resistência do ar, a componente horizontal v_x é constante no tempo (não há aceleração horizontal), enquanto a componente vertical v_y varia segundo v_y(t)=v_{y0}-g t com g a aceleração da gravidade.

Passo 3

A1 diz que o módulo da velocidade quando a partícula retorna à altura H é v_{0}.
Raciocínio (simetria dos projéteis / conservação de energia):
  • Em ausência de resistência do ar, para dois instantes em que a coordenada vertical y é a mesma, os módulos das componentes verticais têm o mesmo valor absoluto (apenas o sinal pode mudar), e a componente horizontal é a mesma (constante).
  • Inicialmente: \,v_{x0}=v_{0}\cos30^\circ e \,v_{y0}=v_{0}\sin30^\circ.
  • No instante em que a partícula volta a y=H vindo de cima, teremos v_x=v_{x0} (constante) e v_y=-v_{y0} (mesma magnitude, sinal oposto).
  • O módulo da velocidade naquele instante é
\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(v_{x0})^2+(-v_{y0})^2}=\sqrt{(v_{x0})^2+(v_{y0})^2}=\sqrt{v_{0}^2}=v_{0}.
Conclusão: A1 é correta.
Comentário físico alternativo (energia): pela conservação de energia, quando a partícula tem a mesma altura potencial gravitacional que no início, sua energia cinética também é a mesma; portanto o módulo da velocidade é o mesmo.

Passo 4

A2 diz que o módulo da velocidade imediatamente antes de atingir o solo é maior que v_0.
Usando conservação de energia (mais direto para comparar velocidades em alturas diferentes):
  • Energia inicial (no topo, altura H): E_i=\tfrac{1}{2}m v_0^2 + m g H.
  • Energia imediatamente antes de atingir o solo (altura 0): E_f=\tfrac{1}{2}m v_{\text{solo}}^2 + 0.
    Conservação de energia (sem perdas) implica
\tfrac{1}{2}m v_{\text{solo}}^2 = \tfrac{1}{2}m v_0^2 + m g H.
Multiplicando por 2/m,
v_{\text{solo}}^2 = v_0^2 + 2 g H.
Como 2gH>0 (já que H>0), segue que v_{\text{solo}}^2>v_0^2 e, portanto,
v_{\text{solo}}>v_0.
Conclusão: A2 é correta.
Comentário prático: a partícula ganha velocidade ao descer do nível H até o solo porque converte energia potencial em cinética.

Passo 5

A3 afirma que o tempo para atingir o solo é igual ao tempo gasto por um corpo simplesmente abandonado da altura H (isto é, solto com velocidade vertical inicial zero).
Vamos comparar os dois tempos verticalmente.
Tempo de queda livre (objeto solto, v_{y0}=0):
  • A equação vertical é H-\tfrac{1}{2}g t_{\text{soltar}}^2=0.
  • Logo
t_{\text{soltar}}=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}.
Tempo do projétil (lançado com v_{y0}=v_0\sin30^\circ>0):
  • A equação vertical é H+v_{y0}t-\tfrac{1}{2}g t^2=0.
  • Solução positiva da quadrática:
t_{\text{proj}}=\dfrac{v_{y0}+\sqrt{v_{y0}^2+2gH}}{g}.
Note que \sqrt{v_{y0}^2+2gH}>\sqrt{2gH}, portanto
t_{\text{proj}}=\dfrac{v_{y0}}{g}+\dfrac{\sqrt{v_{y0}^2+2gH}}{g}>\dfrac{\sqrt{2gH}}{g}=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}=t_{\text{soltar}}.
Interpretação: como o projétil começa com componente vertical para cima, ele leva um tempo extra subindo antes de descer; por isso o tempo até o solo é maior que o tempo de uma queda livre a partir de H.
Conclusão: A3 é falsa.

Passo 6

A4 diz que ao atingir a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
Entendendo o que acontece na altura máxima:
  • No topo da trajetória a componente vertical da velocidade é zero: v_y=0.
  • Porém, a componente horizontal v_x permanece igual a v_{x0}=v_0\cos30^\circ, que é não-nula (porque \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0).
  • Portanto a velocidade vetorial não é nula; o módulo da velocidade no topo é exatamente |v_x|=v_0\cos30^\circ, não zero.
Conclusão: A4 é falsa.
Comentário didático: é comum confundir “componente vertical é zero” com “velocidade total é zero” — mas a partícula só fica instantaneamente com velocidade total nula se todas as componentes forem zero, o que aqui não ocorre.

Passo 7

A5 diz que o módulo da componente horizontal v_x em qualquer instante é maior que v_0.
Informação-chave:
  • Em ausência de resistência do ar, v_x é constante e igual a v_{x0}=v_0\cos30^\circ.
  • Como \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866<1, temos
v_x=v_0\cos30^\circ < v_0.
Logo a componente horizontal nunca é maior que v_0 — na verdade é menor.
Conclusão: A5 é falsa.

Passo 8

  • A1: verdadeira.
  • A2: verdadeira.
  • A3: falsa.
  • A4: falsa.
  • A5: falsa.

Resposta

O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura H é v_{0}.
O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que v_{0}.

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