Uma partícula é lançada com velocidade inicial
fazendo um ângulo de
acima da horizontal, de um prédio com altura H em relação ao solo. Despreze os efeitos da resistência do ar. Em relação à situação descrita é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
□ O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura
é
.
- O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que
.
- O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura
.
- No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
- O módulo da componente horizontal
da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
- Uma partícula é lançada com velocidade inicial
fazendo um ângulo de acima da horizontal, a partir de um prédio cuja base está a uma altura em relação ao solo. - Despreza-se resistência do ar (portanto forças conservativas apenas: peso).
O enunciado pede que se indique quais das afirmações listadas são corretas.
As afirmações a avaliar são (reescrevendo-as para ficar claro):
A1) O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura é
.
A2) O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que .
A3) O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura (isto é, solta sem velocidade inicial).
A4) No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
A5) O módulo da componente horizontal da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que
.
A1) O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura
A2) O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que
A3) O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura
A4) No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
A5) O módulo da componente horizontal
Passo 2
Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é fundamental para todo movimento de projéteis.
Definição e uso:
- A componente horizontal da velocidade inicial é
. - A componente vertical inicial é
.
Valores numéricos úteis (lembrando identidades trigonométricas básicas):
Logo
Comentário didático rápido: em projéteis sem resistência do ar, a componente horizontal
é constante no tempo (não há aceleração horizontal), enquanto a componente vertical
varia segundo
com
a aceleração da gravidade.
Passo 3
A1 diz que o módulo da velocidade quando a partícula retorna à altura
é
.
Raciocínio (simetria dos projéteis / conservação de energia):
- Em ausência de resistência do ar, para dois instantes em que a coordenada vertical
é a mesma, os módulos das componentes verticais têm o mesmo valor absoluto (apenas o sinal pode mudar), e a componente horizontal é a mesma (constante). - Inicialmente:
e . - No instante em que a partícula volta a
vindo de cima, teremos (constante) e (mesma magnitude, sinal oposto). - O módulo da velocidade naquele instante é
Conclusão: A1 é correta.
Comentário físico alternativo (energia): pela conservação de energia, quando a partícula tem a mesma altura potencial gravitacional que no início, sua energia cinética também é a mesma; portanto o módulo da velocidade é o mesmo.
Passo 4
A2 diz que o módulo da velocidade imediatamente antes de atingir o solo é maior que
.
Usando conservação de energia (mais direto para comparar velocidades em alturas diferentes):
- Energia inicial (no topo, altura
): . - Energia imediatamente antes de atingir o solo (altura
): .
Conservação de energia (sem perdas) implica
Multiplicando por
,
Como
(já que
), segue que
e, portanto,
Conclusão: A2 é correta.
Comentário prático: a partícula ganha velocidade ao descer do nível
até o solo porque converte energia potencial em cinética.
Passo 5
A3 afirma que o tempo para atingir o solo é igual ao tempo gasto por um corpo simplesmente abandonado da altura
(isto é, solto com velocidade vertical inicial zero).
Vamos comparar os dois tempos verticalmente.
Tempo de queda livre (objeto solto,
):
- A equação vertical é
. - Logo
Tempo do projétil (lançado com
):
- A equação vertical é
. - Solução positiva da quadrática:
Note que
, portanto
Interpretação: como o projétil começa com componente vertical para cima, ele leva um tempo extra subindo antes de descer; por isso o tempo até o solo é maior que o tempo de uma queda livre a partir de
.
Conclusão: A3 é falsa.
Passo 6
A4 diz que ao atingir a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
Entendendo o que acontece na altura máxima:
- No topo da trajetória a componente vertical da velocidade é zero:
. - Porém, a componente horizontal
permanece igual a , que é não-nula (porque ). - Portanto a velocidade vetorial não é nula; o módulo da velocidade no topo é exatamente
, não zero.
Conclusão: A4 é falsa.
Comentário didático: é comum confundir “componente vertical é zero” com “velocidade total é zero” — mas a partícula só fica instantaneamente com velocidade total nula se todas as componentes forem zero, o que aqui não ocorre.
Passo 7
A5 diz que o módulo da componente horizontal
em qualquer instante é maior que
.
Informação-chave:
- Em ausência de resistência do ar,
é constante e igual a . - Como
, temos
Logo a componente horizontal nunca é maior que
— na verdade é menor.
Conclusão: A5 é falsa.
Passo 8
- A1: verdadeira.
- A2: verdadeira.
- A3: falsa.
- A4: falsa.
- A5: falsa.
Resposta
O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura
é
.
O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que .
O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que