Uma partícula é lançada horizontalmente com velocidade inicial \vec{v}_{0} de um prédio com altura H em relação ao solo. Despreze os efeitos da resistência do ar. Em relação à situação descrita é correto afirmar que:

Escolha uma ou mais:

□ Após ter sido lançada, as componentes \boldsymbol{y} da aceleração e da velocidade têm os mesmos sinais.
  • O módulo da aceleração da partícula durante o movimento é maior que o da aceleração da gravidade local.
  • O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H.
    □ O sinal das componentes \boldsymbol{y} da velocidade e da aceleração independem da orientação de eixo \boldsymbol{y}.
  • O módulo da componente horizontal \left(v_{x}\right) da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que \boldsymbol{v}_{0}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados do enunciado:
  • Uma partícula é lançada horizontalmente com velocidade inicial \vec{v}_0 a partir de um prédio de altura H em relação ao solo.
  • Despreza-se a resistência do ar.
O enunciado pede que se avalie (verdadeiro ou falso) cada uma das afirmações abaixo:
  1. Após ter sido lançada, as componentes y da aceleração e da velocidade têm os mesmos sinais.
  2. O módulo da aceleração da partícula durante o movimento é maior que o da aceleração da gravidade local.
  3. O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H.
  4. O sinal das componentes y da velocidade e da aceleração independem da orientação do eixo y.
  5. O módulo da componente horizontal \left(v_x\right) da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que \vec{v}_0.

Passo 2

Primeiro, vou explicar como se decompõe o movimento e quais equações usamos (isso é o que você precisa saber para resolver qualquer questão desse tipo).
  • Em movimentos sob gravidade sem resistência do ar podemos separar o movimento em duas direções ortogonais: horizontal ( x) e vertical ( y).
  • A aceleração causada pela gravidade é vertical e tem magnitude g. Escolhendo o eixo y apontando para cima, a aceleração vertical é
a_y = -g.
Aqui g é a magnitude da aceleração da gravidade (por exemplo g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}). Se escolhermos o eixo y apontando para baixo, então a_y = +g. Ou seja, o sinal de a_y depende da orientação escolhida, mas a direção física da aceleração (para baixo) é fixa.
  • Como o lançamento é puramente horizontal, a componente vertical da velocidade inicial é zero:
v_{0y}=0.
A componente horizontal inicial é igual ao módulo da velocidade lançada:
v_{0x}=v_0.
  • As equações do movimento sem resistência do ar são (com v_{0y}=0 e assumindo y=0 no solo, y=H na origem do lançamento):
v_x(t)=v_{0x}=v_0 \quad\text{(pois }a_x=0\text{)},
v_y(t)=v_{0y}+a_y t = 0 + a_y t = a_y t.
Se adotarmos y para cima, então a_y=-g e
v_y(t) = -g t.
A posição vertical é
y(t)=H + v_{0y}t + \tfrac{1}{2}a_y t^2 = H - \tfrac{1}{2}g t^2
(se y para cima e y=0 no solo).

Passo 3

Avaliação da afirmação 1: “Após ter sido lançada, as componentes y da aceleração e da velocidade têm os mesmos sinais.”
  • Usando a fórmula v_y(t)=a_y t com v_{0y}=0, para qualquer t>0 temos que v_y(t) tem o mesmo sentido da aceleração a_y (pois é um número proporcional a a_y por t>0).
  • Fisicamente: a aceleração aponta para baixo; a partícula, após ser lançada, começa a adquirir velocidade para baixo. Logo, a componente vertical da velocidade e a da aceleração apontam para o mesmo lado (ambas para baixo), portanto têm o mesmo sinal quando assumimos um eixo y fixo — e isso vale para t>0.
  • Observação sobre o instante inicial: exatamente em t=0 temos v_y(0)=0, que é neutro (não tem sinal). A afirmação diz “após ter sido lançada”, que implica t>0. Então, interpretando assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Avaliação da afirmação 2: “O módulo da aceleração da partícula durante o movimento é maior que o da aceleração da gravidade local.”
  • Em ausência de resistência do ar, a única aceleração presente é a aceleração da gravidade. Assim o vetor aceleração da partícula tem módulo igual exatamente a g.
  • Portanto dizer que o módulo da aceleração é maior que g é falso: o módulo é igual a g, não maior.

Passo 5

Avaliação da afirmação 3: “O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H.”
  • O tempo de queda depende apenas do movimento vertical. Como a componente vertical da velocidade inicial no lançamento horizontal é v_{0y}=0, a queda vertical é idêntica à de um objeto abandonado (solto) da mesma altura com velocidade vertical inicial zero.
  • Resolvendo y(t)=0 em y(t)=H - \tfrac{1}{2}g t^2
0 = H - \tfrac{1}{2} g t^2 \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}.
  • Esse mesmo tempo é o tempo de queda para o objeto abandonado. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Avaliação da afirmação 4: “O sinal das componentes y da velocidade e da aceleração independem da orientação do eixo y.”
  • Se por “independem” a frase quer dizer que trocar a orientação do eixo y (inverter sentido positivo) não altera o sinal das componentes, isso é falso: mudar a orientação do eixo troca o sinal tanto de v_y quanto de a_y.
  • Exemplo prático: suponha que com y para cima temos a_y=-g e para t>0 v_y=-g t (negativos). Se invertermos y para baixo como positivo, teremos a_y=+g e v_y=+g t (positivos). Os sinais individuais dependem da escolha do eixo.
  • Observação: a relação entre os sinais (por exemplo “eles têm o mesmo sinal”) pode permanecer verdadeira independentemente da orientação do eixo — isto é diferente de dizer que os sinais individuais são independentes da orientação. A afirmação escrita diz que os sinais independem da orientação, o que está incorreto. Portanto a afirmação 4 é falsa.

Passo 7

Avaliação da afirmação 5: “O módulo da componente horizontal \left(v_x\right) da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que \vec{v}_0.”
  • Em ausência de forças horizontais, a_x=0, então a componente horizontal da velocidade permanece constante:
v_x(t)=v_{0x}=v_0.
  • O módulo de v_x é igual a v_0 em todos os instantes, não maior. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

Após ter sido lançada, as componentes y da aceleração e da velocidade têm os mesmos sinais.
O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H.

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