4-a ) Se tirarmos o capacitor do circuito anterior fica um circuito RL. Suponha que seja aplicado um pulso elétrico no mesmo. Qual a voltagem (Resposta) no indutor?
b) Explique como este sistema pode ser usado para geral altas voltagens.

Passo 1

O enunciado diz que, tirando o capacitor, o circuito fica apenas com um indutor e uma resistência em série (circuito RL). Foi aplicado um pulso elétrico nesse circuito. As perguntas são: (a) qual a voltagem no indutor? e (b) como esse sistema pode ser usado para gerar altas voltagens. Informação implícita que vou usar sem perguntar: o “pulso” pode ser modelado, para começar, como um degrau de tensão ideal de amplitude V aplicado em t=0 (ou seja, a fonte salta de 0 para V e permanece em V por um tempo suficiente). As quantidades que aparecem e que vou usar são: a resistência R, a indutância L, a fonte V e a corrente no circuito i(t). Não vamos assumir conhecimento prévio seu: daqui para frente explico cada passo e cada fórmula.

Passo 2

Princípio básico: tensão no indutor e definição de indutância. A lei fundamental do indutor é
v_L(t)=L\,\frac{di}{dt}
onde v_L(t) é a voltagem instantânea no indutor, L é a indutância (medida em henry, H) e \frac{di}{dt} é a derivada temporal da corrente (variação da corrente por tempo). Intuição física: o indutor resiste a mudanças na corrente; para forçar uma mudança rápida na corrente o indutor “gera” uma tensão proporcional à rapidez dessa mudança.

Passo 3

Montando a equação do circuito RL com fonte de tensão em série. Pela Lei de Kirchhoff de tensões:
V = v_R(t)+v_L(t)
onde v_R(t)=R\,i(t) é a tensão no resistor. Substituindo v_L(t)=L\,\frac{di}{dt} obtemos a equação diferencial:
L\,\frac{di}{dt}+R\,i(t)=V
Essa equação descreve como a corrente varia no tempo após a aplicação do degrau V. Vou resolver essa EDO de primeira ordem de forma direta e didática.

Passo 4

Resolvendo a EDO passo a passo. A equação
L\frac{di}{dt}+R i(t)=V
pode ser colocada na forma padrão:
\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{V}{L}
Solução geral = soma da solução homogênea e de uma particular.
Solução homogênea (quando o lado direito é zero):
\frac{di_h}{dt}+\frac{R}{L}i_h=0
que tem solução exponencial
i_h(t)=K e^{-\frac{R}{L}t}
onde K é constante determinada pela condição inicial.
Solução particular (estado estacionário quando t\to\infty, derivada nula):
i_p=\frac{V}{R}
Somando,
i(t)=\frac{V}{R}+K e^{-\frac{R}{L}t}
Condição inicial: antes do pulso a corrente era zero, então em t=0^+ temos i(0)=0. Substituindo:
0=\frac{V}{R}+K \Rightarrow K=-\frac{V}{R}
Logo a solução completa é
i(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)
Esse é um resultado padrão: a corrente cresce exponencialmente do valor inicial 0 até o valor de regime \frac{V}{R} com constante de tempo \tau=\frac{L}{R}.

Passo 5

Agora calculamos a tensão no indutor usando v_L=L\frac{di}{dt}. Derivando i(t):
\frac{di}{dt}=\frac{V}{R}\cdot\left(\frac{R}{L}\right)e^{-\frac{R}{L}t}=\frac{V}{L}e^{-\frac{R}{L}t}
Multiplicando por L obtemos
v_L(t)=L\cdot\frac{V}{L}e^{-\frac{R}{L}t}=V e^{-\frac{R}{L}t}
Interpretação física simples e útil:
  • Em t=0^+ (instante imediatamente após aplicar o pulso) v_L(0^+)=V. Ou seja, toda a tensão da fonte aparece inicialmente no indutor e a tensão no resistor é zero porque a corrente ainda é zero.
  • Para t\to\infty o expoente vai a zero e v_L(\infty)=0. Em regime permanente o indutor se comporta como curto (corrente constante) e não sustenta tensão.
    Portanto, a voltagem no indutor após a aplicação do pulso decai exponencialmente segundo v_L(t)=V e^{-\frac{R}{L}t}.

Passo 6

O que acontece quando o pulso termina (ou seja, desligamos a fonte)? Existem dois casos práticos que importam:
Caso A — fonte vai para zero mas o circuito permanece fechado através de R (fonte substituída por curto ideal):
  • Antes de desligar, se o circuito estava em regime, i(0^-)=V/R.
  • Para t>0 com fonte 0, a EDO vira
L\frac{di}{dt}+R i=0
com solução
i(t)=\frac{V}{R}e^{-\frac{R}{L}t}
e a tensão no indutor é
v_L(t)=L\frac{di}{dt}=-V e^{-\frac{R}{L}t}
(A tensão muda de sinal para manter a corrente decrescente.)
Caso B — abrimos o circuito (corta-se o caminho da corrente): a corrente num indutor não pode mudar instantaneamente. Se a trajetória de corrente é interrompida, a derivada di/dt precisa ser muito grande para anular a corrente instantaneamente, e pela relação v_L=L\,di/dt surge um pulso de tensão muito alto que aparece no indutor até que alguma via dissipe a energia (faísca, rompimento do isolante, capacitâncias parasitas, circuito de proteção). Esse efeito é chamado de “inductive kick” ou “flyback” e é justamente a base de como se obtêm altas voltagens.

Passo 7

Como usar esse sistema para gerar altas voltagens (explicação prática e física). Dois mecanismos comuns:
  1. Inductive kick / abertura rápida do circuito
  • Energia armazenada no indutor na forma magnética:
E=\tfrac{1}{2}L I^2
onde I é a corrente no instante do desligamento.
  • Se a corrente for forçada a descarregar numa capacitância C muito pequena (por exemplo capacitâncias parasitas ou um capacitor intencional), a energia pode transferir para o capacitor e gerar uma tensão alta:
\tfrac{1}{2}L I^2=\tfrac{1}{2}C V_{\text{peak}}^2\Rightarrow V_{\text{peak}}=I\sqrt{\frac{L}{C}}
Isto mostra que com C muito pequena a tensão pode ficar enorme. Exemplo numérico rápido: L=1\text{ mH}, I=10\text{ A}, C=1\text{ pF}
V_{\text{peak}}\approx 10\cdot\sqrt{\frac{1\times10^{-3}}{1\times10^{-12}}}\approx 10\cdot3{,}16\times10^{4}\approx 3{,}16\times10^{5}\text{ V}
ou seja centenas de kV (na prática há perdas e limites por rompimento dielétrico, mas a fórmula mostra o princípio).
  1. Uso de transformador (flyback / bobina com núcleo e enrolamentos)
  • Se o indutor for parte de uma bobina com enrolamentos secundários (transformador), a rápida variação de fluxo quando a corrente é interrompida induz uma tensão na secundária proporcional à taxa de variação do fluxo e à relação de espiras. Assim é possível aplicar diodos e circuitos que retêm a energia e produzem tensões muito maiores na secundária (ex.: ignição de motores, fontes flyback, bobinas de choque).
  • Vantagem prática: controle do valor máximo por projeto do número de espiras e da velocidade de comutação; permite usinar altas tensões de forma mais controlada que simplesmente provocar uma faísca.
Limitações reais e cuidados (breve):
  • A tensão gerada não é ilimitada: aparece ruptura dielétrica, ionização do ar (faísca), ou o circuito comuta em caminhos parasitas (capacitâncias e resistências). Também há perdas por resistência e aquecimento.
  • Projetos reais usam diodos de recuperação, snubbers (RC), varistores, ou um enrolamento secundário com retificação para controlar a energia e proteger componentes.

Passo 8

Resumo didático final (como responder na prova, de forma concisa). Para a situação do degrau de tensão ideal aplicado a um RL em série:
i(t)=\frac{V}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)
v_L(t)=V e^{-\frac{R}{L}t}
Ao desligar, se o circuito for aberto a indutância produzirá um pulso de tensão muito alto para tentar manter a corrente; a energia armazenada \tfrac{1}{2}L I^2 pode converter-se numa tensão grande em uma pequena capacitância segundo V_{\text{peak}}=I\sqrt{\tfrac{L}{C}}, ou pode ser transferida a uma secundária de um transformador (flyback) para gerar altas tensões de forma prática.

Resposta

v_L(t)=V e^{-\frac{R}{L}t}\nAo abrir bruscamente o circuito a indutância gera um “kick” que pode produzir tensões muito altas porque v_L=L\,di/dt e a energia armazenada \tfrac{1}{2}L I^2 pode transformar‑se numa tensão elevada em uma pequena capacitância segundo V_{\text{peak}}=I\sqrt{\dfrac{L}{C}}.

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