) Se tirarmos o capacitor do circuito anterior fica um circuito RL. Suponha que seja aplicado um pulso elétrico no mesmo. Qual a voltagem (Resposta) no indutor?
b) Explique como este sistema pode ser usado para geral altas voltagens.
b) Explique como este sistema pode ser usado para geral altas voltagens.
Passo 1
O enunciado diz que, tirando o capacitor, o circuito fica apenas com um indutor e uma resistência em série (circuito RL). Foi aplicado um pulso elétrico nesse circuito. As perguntas são: (a) qual a voltagem no indutor? e (b) como esse sistema pode ser usado para gerar altas voltagens. Informação implícita que vou usar sem perguntar: o “pulso” pode ser modelado, para começar, como um degrau de tensão ideal de amplitude
aplicado em
(ou seja, a fonte salta de
para
e permanece em
por um tempo suficiente). As quantidades que aparecem e que vou usar são: a resistência
, a indutância
, a fonte
e a corrente no circuito
. Não vamos assumir conhecimento prévio seu: daqui para frente explico cada passo e cada fórmula.
Passo 2
Princípio básico: tensão no indutor e definição de indutância. A lei fundamental do indutor é
onde
é a voltagem instantânea no indutor,
é a indutância (medida em henry,
) e
é a derivada temporal da corrente (variação da corrente por tempo). Intuição física: o indutor resiste a mudanças na corrente; para forçar uma mudança rápida na corrente o indutor “gera” uma tensão proporcional à rapidez dessa mudança.
Passo 3
Montando a equação do circuito RL com fonte de tensão em série. Pela Lei de Kirchhoff de tensões:
onde
é a tensão no resistor. Substituindo
obtemos a equação diferencial:
Essa equação descreve como a corrente varia no tempo após a aplicação do degrau
. Vou resolver essa EDO de primeira ordem de forma direta e didática.
Passo 4
Resolvendo a EDO passo a passo. A equação
pode ser colocada na forma padrão:
Solução geral = soma da solução homogênea e de uma particular.
Solução homogênea (quando o lado direito é zero):
que tem solução exponencial
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Solução particular (estado estacionário quando
, derivada nula):
Somando,
Condição inicial: antes do pulso a corrente era zero, então em
temos
. Substituindo:
Logo a solução completa é
Esse é um resultado padrão: a corrente cresce exponencialmente do valor inicial
até o valor de regime
com constante de tempo
.
Passo 5
Agora calculamos a tensão no indutor usando
. Derivando
:
Multiplicando por
obtemos
Interpretação física simples e útil:
- Em
(instante imediatamente após aplicar o pulso) . Ou seja, toda a tensão da fonte aparece inicialmente no indutor e a tensão no resistor é zero porque a corrente ainda é zero. - Para
o expoente vai a zero e . Em regime permanente o indutor se comporta como curto (corrente constante) e não sustenta tensão.
Portanto, a voltagem no indutor após a aplicação do pulso decai exponencialmente segundo.
Passo 6
O que acontece quando o pulso termina (ou seja, desligamos a fonte)? Existem dois casos práticos que importam:
Caso A — fonte vai para zero mas o circuito permanece fechado através de
(fonte substituída por curto ideal):
- Antes de desligar, se o circuito estava em regime,
. - Para
com fonte , a EDO vira
com solução
e a tensão no indutor é
(A tensão muda de sinal para manter a corrente decrescente.)
Caso B — abrimos o circuito (corta-se o caminho da corrente): a corrente num indutor não pode mudar instantaneamente. Se a trajetória de corrente é interrompida, a derivada
precisa ser muito grande para anular a corrente instantaneamente, e pela relação
surge um pulso de tensão muito alto que aparece no indutor até que alguma via dissipe a energia (faísca, rompimento do isolante, capacitâncias parasitas, circuito de proteção). Esse efeito é chamado de “inductive kick” ou “flyback” e é justamente a base de como se obtêm altas voltagens.
Passo 7
Como usar esse sistema para gerar altas voltagens (explicação prática e física). Dois mecanismos comuns:
- Inductive kick / abertura rápida do circuito
- Energia armazenada no indutor na forma magnética:
onde
é a corrente no instante do desligamento.
- Se a corrente for forçada a descarregar numa capacitância
muito pequena (por exemplo capacitâncias parasitas ou um capacitor intencional), a energia pode transferir para o capacitor e gerar uma tensão alta:
Isto mostra que com
muito pequena a tensão pode ficar enorme. Exemplo numérico rápido:
,
,
dá
ou seja centenas de kV (na prática há perdas e limites por rompimento dielétrico, mas a fórmula mostra o princípio).
- Uso de transformador (flyback / bobina com núcleo e enrolamentos)
- Se o indutor for parte de uma bobina com enrolamentos secundários (transformador), a rápida variação de fluxo quando a corrente é interrompida induz uma tensão na secundária proporcional à taxa de variação do fluxo e à relação de espiras. Assim é possível aplicar diodos e circuitos que retêm a energia e produzem tensões muito maiores na secundária (ex.: ignição de motores, fontes flyback, bobinas de choque).
- Vantagem prática: controle do valor máximo por projeto do número de espiras e da velocidade de comutação; permite usinar altas tensões de forma mais controlada que simplesmente provocar uma faísca.
Limitações reais e cuidados (breve):
- A tensão gerada não é ilimitada: aparece ruptura dielétrica, ionização do ar (faísca), ou o circuito comuta em caminhos parasitas (capacitâncias e resistências). Também há perdas por resistência e aquecimento.
- Projetos reais usam diodos de recuperação, snubbers (RC), varistores, ou um enrolamento secundário com retificação para controlar a energia e proteger componentes.
Passo 8
Resumo didático final (como responder na prova, de forma concisa). Para a situação do degrau de tensão ideal aplicado a um RL em série:
Ao desligar, se o circuito for aberto a indutância produzirá um pulso de tensão muito alto para tentar manter a corrente; a energia armazenada
pode converter-se numa tensão grande em uma pequena capacitância segundo
, ou pode ser transferida a uma secundária de um transformador (flyback) para gerar altas tensões de forma prática.