Uma partícula de massa
está confinada em um potencial harmônico unidimensional e seu estado é descrito pela função de onda
, valida para qualquer ponto do eixo x. A energia desta partícula é dada por
.
Determine a constante de normalização
para o estado.
Determine a constante de normalização
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa $ m $ presa em um potencial harmônico unidimensional. A função de onda que descreve o estado dessa partícula é $ \psi_{1}(x) = A_{1} x e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $, e a energia associada é $ E_{1} = \frac{3 \hbar^{2}}{2 m L^{2}} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a constante de normalização $ A_{1} $. Para isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda na mecânica quântica, garantindo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa normalizar uma função de onda. A normalização garante que a integral do módulo quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1, ou seja:
Nesse caso, nossa função de onda é $ \psi_{1}(x) = A_{1} x e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $. Vamos calcular o módulo quadrado dela:
Passo 3
Agora, substituímos o módulo quadrado na condição de normalização:
Podemos fatorar o $ A_{1}^{2} $ para fora da integral:
Passo 4
A próxima etapa é resolver a integral $ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e{-\frac{x{2}}{L^{2}}} dx $. Isso é um tipo de integral gaussiana padrão. Sabemos que:
Aqui, $ a = \frac{1}{L^{2}} $, então substituindo:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na equação de normalização:
Agora, isolamos $ A_{1}^{2} $:
Passo 6
Para encontrar $ A_{1} $, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A constante de normalização é $ A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{\pi^{1/4} L^{3/2}} $.