Uma partícula de massa m está confinada em um potencial harmônico unidimensional e seu estado é descrito pela função de onda psi1(x)=A1 x e^-x^22 L^2, valida para qualquer ponto do eixo x. A energia desta partícula é dada por E1=3 hbar^2 / 2 m L^2.
Determine a constante de normalização (A1) para o estado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa $ m $ presa em um potencial harmônico unidimensional. A função de onda que descreve o estado dessa partícula é $ \psi_{1}(x) = A_{1} x e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $, e a energia associada é $ E_{1} = \frac{3 \hbar^{2}}{2 m L^{2}} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a constante de normalização $ A_{1} $. Para isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda na mecânica quântica, garantindo que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa normalizar uma função de onda. A normalização garante que a integral do módulo quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1, ou seja:
integral-infty^infty |psi1(x)|^2 dx = 1
Nesse caso, nossa função de onda é $ \psi_{1}(x) = A_{1} x e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $. Vamos calcular o módulo quadrado dela:
psi1(x) = A1 x e^-x^22 L^2

Passo 3

Agora, substituímos o módulo quadrado na condição de normalização:
integral-infty^infty A1^2 x^2 e^-x^2L^2 dx = 1
Podemos fatorar o $ A_{1}^{2} $ para fora da integral:
A1^2

Passo 4

A próxima etapa é resolver a integral $ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e{-\frac{x{2}}{L^{2}}} dx $. Isso é um tipo de integral gaussiana padrão. Sabemos que:
integral-infty^infty x^2 e^-x^2L^2 dx
Aqui, $ a = \frac{1}{L^{2}} $, então substituindo:
integral-infty^infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na equação de normalização:
A1^2 cdot raizpi2 L^3 = 1
Agora, isolamos $ A_{1}^{2} $:
A1^2

Passo 6

Para encontrar $ A_{1} $, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
A1

Resposta

A constante de normalização é $ A_{1} = \frac{\sqrt{2}}{\pi^{1/4} L^{3/2}} $.

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