Considere um átomo de hidrogênio (
) e massa reduzida
, o elétron deste átomo encontrana função de onda radial
e
e
é o raio de Bohr. O potencial entre núcleo e elétron é dado por
.
Determine e simplifique a constante de normalização
para o estado.
Determine e simplifique a constante de normalização
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um átomo de hidrogênio, onde o elétron está numa certa “dança” ao redor do núcleo, descrita por uma função de onda radial. A matéria aqui envolve mecânica quântica, especialmente os conceitos de funções de onda e normalização. O que vamos precisar é entender como garantir que a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar ao redor do núcleo seja 1 (ou seja, que a função de onda esteja normalizada).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda radial $ R_{nl}® $, a condição de normalização é dada por:
Isso significa que precisamos integrar o quadrado da função de onda multiplicado por $ r^2 $ de 0 até o infinito e isso deve dar 1.
Passo 3
Nossa função de onda radial é $ R_{32}® = A_{32} r^{2} e^{-r / 3 a_{0}} $. Vamos substituir isso na condição de normalização:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Aqui, $ |A_{32}|^2 $ é constante e pode ser tirado da integral.
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral:
Esse tipo de integral é um caso da função gamma, onde:
No nosso caso, $ n = 4 $ e $ \alpha = \frac{2}{3 a_{0}} $.
Passo 6
Aplicando a fórmula da função gamma:
Passo 7
Substituindo de volta na equação de normalização:
Para achar $ A_{32} $, vamos isolar $ |A_{32}|^2 $:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Portanto,
Passo 9
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ A_{32} $:
Resposta
A constante de normalização é $ A_{32} = \dfrac{2}{27, a_{0}^{5/2}} $.