Considere um átomo de hidrogênio ( Z=1 ) e massa reduzida mu, o elétron deste átomo encontrana função de onda radial R32(r)=A32 r^2 e^-r / 3 a0 com n=3 e l=2 e a0 é o raio de Bohr. O potencial entre núcleo e elétron é dado por V(r)=-hbar^2mu a0 r.
Determine e simplifique a constante de normalização (A32) para o estado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um átomo de hidrogênio, onde o elétron está numa certa “dança” ao redor do núcleo, descrita por uma função de onda radial. A matéria aqui envolve mecânica quântica, especialmente os conceitos de funções de onda e normalização. O que vamos precisar é entender como garantir que a probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar ao redor do núcleo seja 1 (ou seja, que a função de onda esteja normalizada).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda radial $ R_{nl}® $, a condição de normalização é dada por:
Rnl(r)
Isso significa que precisamos integrar o quadrado da função de onda multiplicado por $ r^2 $ de 0 até o infinito e isso deve dar 1.

Passo 3

Nossa função de onda radial é $ R_{32}® = A_{32} r^{2} e^{-r / 3 a_{0}} $. Vamos substituir isso na condição de normalização:
R32(r) = A32 r^2 e^-r / 3 a0

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
|A32|^2 integral0^infty r^4 e^-2r / 3 a0 dr = 1
Aqui, $ |A_{32}|^2 $ é constante e pode ser tirado da integral.

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^infty r^4 e^-2r / 3 a0 dr
Esse tipo de integral é um caso da função gamma, onde:
integral0^infty r^n e^-alpha r dr = n!alpha^n+1
No nosso caso, $ n = 4 $ e $ \alpha = \frac{2}{3 a_{0}} $.

Passo 6

Aplicando a fórmula da função gamma:
integral0^infty r^4 e^-2r / 3 a0 dr = 4!(23 a0)^5 = 24(23 a0)^5 = 24 ( 3 a02 )^5

Passo 7

Substituindo de volta na equação de normalização:
|A32|^2 times 24 ( 3 a02 )^5 = 1
Para achar $ A_{32} $, vamos isolar $ |A_{32}|^2 $:
A32

Passo 8

Simplificando a expressão:
|A32|^2 = 124 ( 23 a0 )^5 = 2^524 cdot 3^5 a0^5 = 3224 cdot 243 a0^5 = 325832 a0^5 = 81458 a0^5
Portanto,
|A32|^2 = 81458 a0^5

Passo 9

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ A_{32} $:
A32

Resposta

A constante de normalização é $ A_{32} = \dfrac{2}{27, a_{0}^{5/2}} $.

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