Uma partícula de massa
e energia cinética
sofre um espalhamento elástico com uma outra de massa
em repouso na origem do sistema de referência. Sabendo que a energia cinética da partícula de massa
depois do espalhamento é
, mostre que numa colisão frontal, a razão
é dada por:
Observação: Admitindo-se que uma das massas é conhecida e que as duas energias cinéticas podem ser medidas, esta equação pode ser utilizada para se determinar a massa da outra partícula.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Uma partícula de massa
tem energia cinética inicial e velocidade inicial . - A outra partícula, de massa
, está inicialmente em repouso na origem: sua velocidade inicial é . - Após uma colisão elástica frontal (ou seja, unidimensional, cabeça-a-cabeça), a partícula de massa
passa a ter energia cinética . - O objetivo é obter uma expressão para a razão
em função de e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Colisão frontal = problema unidimensional.
- Colisão elástica = conservam-se o momento linear e a energia cinética.
- Relações entre velocidades e energias cinéticas:
e .
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Escrever as equações de conservação (sem fatores
quando conveniente):
- Conservação do momento linear (colisão 1D):
- Conservação da energia cinética:
Aqui
e
são as velocidades depois da colisão. Vou usar essas duas equações para relacionar
com
.
Passo 3
Manipular as equações para obter uma relação simples entre as velocidades:
- Da conservação do momento, subtraindo
dos dois lados:
- Da conservação da energia, fatorando a diferença de quadrados:
- Dividindo a última equação pela anterior (assumindo
; se então e o problema é trivial), obtemos:
Esta é a forma específica, para
, da propriedade física “na colisão elástica em 1D a velocidade relativa se inverte”, escrita aqui de forma algébrica.
Passo 4
Usar
dentro da conservação do momento para resolver
:
- Substituindo
na equação do momento:
- Reorganizando:
- Portanto:
Passo 5
Relacionar
com
usando a expressão de
:
- Escrevendo as energias como funções das velocidades:
- Substituindo
:
- Simplificando a expressão e trocando
por :
Passo 6
Passar para uma equação em razão de massas e resolver:
- Defina a razão buscada
. Dividindo a igualdade anterior por :
- Denote
. Então
- Multiplicando ambos os lados por
e organizando:
- Outra forma mais direta que facilita a solução: partir de
Multiplicando por
:
Rearranjando:
- Esta é uma equação quadrática em
. Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
- Simplificando escrevendo
e notando que , obtém-se a forma final:
Passo 7
Interpretação física rápida (ajuda para a prova):
- A solução com o sinal “
” e com o sinal “ ” pode produzir duas raízes, mas a razão deve ser positiva. Na prática escolhe-se a raiz positiva física (ambas podem ser positivas dependendo dos valores de e ); é bom verificar qual raiz corresponde ao caso onde tem o valor esperado (por exemplo, se ou ). - Se
então (caso degenerado: nenhuma energia transferida), e a fórmula deve ser usada com cuidado (divisão por zero).