Uma partícula de massa m_{1} e energia cinética T_{1} sofre um espalhamento elástico com uma outra de massa m_{2} em repouso na origem do sistema de referência. Sabendo que a energia cinética da partícula de massa m_{2} depois do espalhamento é T_{2}^{\prime}, mostre que numa colisão frontal, a razão \frac{m_{2}}{m_{1}} é dada por:
\frac{m_{2}}{m_{1}}=\left(\frac{2 T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-1\right) \pm \sqrt{\left(\frac{2 T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-1\right)^{2}-1} .
Observação: Admitindo-se que uma das massas é conhecida e que as duas energias cinéticas podem ser medidas, esta equação pode ser utilizada para se determinar a massa da outra partícula.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Uma partícula de massa m_{1} tem energia cinética inicial T_{1} e velocidade inicial v_{1}.
  • A outra partícula, de massa m_{2}, está inicialmente em repouso na origem: sua velocidade inicial é v_{2}=0.
  • Após uma colisão elástica frontal (ou seja, unidimensional, cabeça-a-cabeça), a partícula de massa m_{2} passa a ter energia cinética T_{2}^{\prime}.
  • O objetivo é obter uma expressão para a razão \dfrac{m_{2}}{m_{1}} em função de T_{1} e T_{2}^{\prime}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Colisão frontal = problema unidimensional.
  • Colisão elástica = conservam-se o momento linear e a energia cinética.
  • Relações entre velocidades e energias cinéticas: \displaystyle T_{1}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} e \displaystyle T_{2}^{\prime}=\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{\prime 2}.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Escrever as equações de conservação (sem fatores 1/2 quando conveniente):
  • Conservação do momento linear (colisão 1D):
m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}^{\prime}+m_{2}v_{2}^{\prime}.
  • Conservação da energia cinética:
m_{1}v_{1}^{2}=m_{1}v_{1}^{\prime 2}+m_{2}v_{2}^{\prime 2}.
Aqui v_{1}^{\prime} e v_{2}^{\prime} são as velocidades depois da colisão. Vou usar essas duas equações para relacionar v_{2}^{\prime} com v_{1}.

Passo 3

Manipular as equações para obter uma relação simples entre as velocidades:
  • Da conservação do momento, subtraindo m_{1}v_{1}^{\prime} dos dois lados:
m_{1}(v_{1}-v_{1}^{\prime})=m_{2}v_{2}^{\prime}.
  • Da conservação da energia, fatorando a diferença de quadrados:
m_{1}(v_{1}-v_{1}^{\prime})(v_{1}+v_{1}^{\prime})=m_{2}v_{2}^{\prime 2}.
  • Dividindo a última equação pela anterior (assumindo v_{2}^{\prime}\neq0; se v_{2}^{\prime}=0 então T_{2}^{\prime}=0 e o problema é trivial), obtemos:
v_{1}+v_{1}^{\prime}=v_{2}^{\prime}.
Esta é a forma específica, para v_{2}=0, da propriedade física “na colisão elástica em 1D a velocidade relativa se inverte”, escrita aqui de forma algébrica.

Passo 4

Usar v_{1}+v_{1}^{\prime}=v_{2}^{\prime} dentro da conservação do momento para resolver v_{2}^{\prime}:
  • Substituindo v_{1}^{\prime}=v_{2}^{\prime}-v_{1} na equação do momento:
m_{1}v_{1}=m_{1}(v_{2}^{\prime}-v_{1})+m_{2}v_{2}^{\prime}.
  • Reorganizando:
m_{1}v_{1}=m_{1}v_{2}^{\prime}-m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}^{\prime}
2m_{1}v_{1}=(m_{1}+m_{2})v_{2}^{\prime}.
  • Portanto:
v_{2}^{\prime}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1}.

Passo 5

Relacionar T_{2}^{\prime} com T_{1} usando a expressão de v_{2}^{\prime}:
  • Escrevendo as energias como funções das velocidades:
T_{1}=\tfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2},\qquad T_{2}^{\prime}=\tfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{\prime 2}.
  • Substituindo v_{2}^{\prime}:
T_{2}^{\prime}=\tfrac{1}{2}m_{2}\left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1}\right)^{2}.
  • Simplificando a expressão e trocando v_{1}^{2} por 2T_{1}/m_{1}:
T_{2}^{\prime}=\tfrac{1}{2}m_{2}\frac{4m_{1}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}v_{1}^{2} =\frac{4m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,T_{1}.

Passo 6

Passar para uma equação em razão de massas e resolver:
  • Defina a razão buscada r=\dfrac{m_{2}}{m_{1}}. Dividindo a igualdade anterior por T_{1}:
\frac{T_{2}^{\prime}}{T_{1}}=\frac{4r}{(1+r)^{2}}.
  • Denote k=\dfrac{T_{2}^{\prime}}{T_{1}}. Então
k=\frac{4r}{(1+r)^{2}}.
  • Multiplicando ambos os lados por (1+r)^{2} e organizando:
k(1+2r+r^{2})=4r
kr^{2}+(2k-4)r+k=0.
  • Outra forma mais direta que facilita a solução: partir de
\frac{4r}{(1+r)^{2}}=\frac{T_{2}^{\prime}}{T_{1}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{(1+r)^{2}}{4r}=\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}.
Multiplicando por 4:
\frac{(1+r)^{2}}{r}=4\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}} \quad\Longrightarrow\quad r+\frac{1}{r}+2=4\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}.
Rearranjando:
r^{2}-\biggl(4\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-2\biggr)r+1=0.
  • Esta é uma equação quadrática em r. Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r=\frac{4\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-2\pm\sqrt{\left(4\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-2\right)^{2}-4}}{2}.
  • Simplificando escrevendo A=4\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-2 e notando que \dfrac{A}{2}=2\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-1, obtém-se a forma final:
r=\left(2\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-1\right)\pm\sqrt{\left(2\frac{T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-1\right)^{2}-1}.

Passo 7

Interpretação física rápida (ajuda para a prova):
  • A solução com o sinal “ +” e com o sinal “ -” pode produzir duas raízes, mas a razão r deve ser positiva. Na prática escolhe-se a raiz positiva física (ambas podem ser positivas dependendo dos valores de T_{1} e T_{2}^{\prime}); é bom verificar qual raiz corresponde ao caso onde m_{2} tem o valor esperado (por exemplo, se m_{2}>m_{1} ou m_{2}<m_{1}).
  • Se T_{2}^{\prime}=0 então r=0 (caso degenerado: nenhuma energia transferida), e a fórmula deve ser usada com cuidado (divisão por zero).

Resposta

\frac{m_{2}}{m_{1}}=\left(\frac{2 T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-1\right)\pm\sqrt{\left(\frac{2 T_{1}}{T_{2}^{\prime}}-1\right)^{2}-1}.

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