Demonstre seguinte afirmação: “Se a resultante das forças externas sobre um sistema de partículas é nula, então o torque externo é independente do ponto em relação ao qual é calculado”.
Lembre-se que tanto o momento angular quanto o torque externo são calculados tomando um ponto de referência como a origem. O objetivo do exercício é tomar outro ponto de referência e comparar as fórmulas dos torques em relação a cada ponto.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede — vou listar claramente (sem começar a resolver ainda).
  • Sistema composto por N partículas.
  • Para cada partícula i existe uma força externa aplicada, denotada por \mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
  • A resultante das forças externas é nula: \sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i^{\text{ext}} = \mathbf{0}.
  • Tomam-se dois pontos de referência (origens) diferentes: um ponto O e outro ponto O'. O vetor que vai de O para O' é \mathbf{a} (ou seja, a posição de O' relativa a O é \mathbf{a}).
  • As posições das partículas relativas ao ponto O são \mathbf{r}_i. As posições relativas ao ponto O' são \mathbf{r}_i'=\mathbf{r}_i-\mathbf{a}.
O que se pede demonstrar:
  • Mostrar que o torque externo (somatório dos momentos das forças externas) calculado em relação a O' é igual ao torque externo calculado em relação a O, ou seja que \boldsymbol{\tau}_{O'}=\boldsymbol{\tau}_{O}, sob a hipótese \sum_i \mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\mathbf{0}.

Passo 2

Relembrando as definições e propriedades que vou usar (bem mastigado):
  • Torque (momento) externo em relação a um ponto O: somatório dos momentos das forças externas medidas a partir de O. Em notação vetorial, \boldsymbol{\tau}_{O}=\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i^{\text{ext}}.Aqui \times é o produto vetorial: dado dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, \mathbf{u}\times\mathbf{v} é outro vetor perpendicular aos dois e com magnitude igual à área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • Propriedades do produto vetorial importantes e simples que vou usar:
    1. Distributividade: \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}.
    2. Linearidade em cada argumento: c(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(c\mathbf{u})\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times(c\mathbf{v}) para escalar c.
    3. Anticomutatividade: \mathbf{u}\times\mathbf{v}=-\mathbf{v}\times\mathbf{u}.
Vou usar essas propriedades para relacionar \boldsymbol{\tau}_{O'} com \boldsymbol{\tau}_{O}.

Passo 3

Escrever a expressão do torque externo em relação ao ponto O'. Lembrando que \mathbf{r}_i'=\mathbf{r}_i-\mathbf{a},
\boldsymbol{\tau}_{O'}=\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i' \times \mathbf{F}_i^{\text{ext}} =\sum_{i=1}^{N} (\mathbf{r}_i-\mathbf{a}) \times \mathbf{F}_i^{\text{ext}}.

Passo 4

Usar a distributividade do produto vetorial para expandir a soma:
\boldsymbol{\tau}_{O'}=\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i^{\text{ext}} \;-\; \sum_{i=1}^{N} \mathbf{a}\times \mathbf{F}_i^{\text{ext}}.

Passo 5

Reconhecer o primeiro somatório como o torque em relação a O:
\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i^{\text{ext}} = \boldsymbol{\tau}_{O}.
No segundo somatório, \mathbf{a} é o mesmo vetor para todas as partículas, portanto pode ser colocado fora da soma:
\sum_{i=1}^{N} \mathbf{a}\times \mathbf{F}_i^{\text{ext}} = \mathbf{a}\times \sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i^{\text{ext}}.
Assim obtenho a relação exata entre os torques em O e em O':
\boldsymbol{\tau}_{O'}=\boldsymbol{\tau}_{O} - \mathbf{a}\times \sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i^{\text{ext}}.

Passo 6

Aplicar a hipótese do enunciado: a resultante das forças externas é nula,
\sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\mathbf{0}.
Substituindo na relação do passo anterior:
\boldsymbol{\tau}_{O'}=\boldsymbol{\tau}_{O} - \mathbf{a}\times \mathbf{0} = \boldsymbol{\tau}_{O}.

Passo 7

Interpretação física curta e incentivo: a demonstração acima mostra que o único termo que poderia causar diferença entre dois torques calculados em pontos distintos é o produto vetorial entre o vetor de translação \mathbf{a} (deslocamento entre as origens) e a força resultante total. Se essa força resultante é nula, não sobra nenhum termo extra — por isso o torque externo é independente da escolha do ponto de referência. Você fez bem em pedir para comparar fórmulas: a conta é curta e direta. Força resultante nula = torque igual em qualquer origem. Segura a ansiedade: isso é um resultado útil e aparece muito em mecânica (por exemplo para discutir equilíbrio rotacional).

Resposta

\boldsymbol{\tau}_{O'}=\boldsymbol{\tau}_{O}, desde que \displaystyle\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\mathbf{0}.

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