Demonstre seguinte afirmação: “Se a resultante das forças externas sobre um sistema de partículas é nula, então o torque externo é independente do ponto em relação ao qual é calculado”.
Lembre-se que tanto o momento angular quanto o torque externo são calculados tomando um ponto de referência como a origem. O objetivo do exercício é tomar outro ponto de referência e comparar as fórmulas dos torques em relação a cada ponto.
Lembre-se que tanto o momento angular quanto o torque externo são calculados tomando um ponto de referência como a origem. O objetivo do exercício é tomar outro ponto de referência e comparar as fórmulas dos torques em relação a cada ponto.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede — vou listar claramente (sem começar a resolver ainda).
- Sistema composto por
partículas. - Para cada partícula
existe uma força externa aplicada, denotada por . - A resultante das forças externas é nula:
- Tomam-se dois pontos de referência (origens) diferentes: um ponto
e outro ponto . O vetor que vai de para é (ou seja, a posição de relativa a é ). - As posições das partículas relativas ao ponto
são . As posições relativas ao ponto são .
O que se pede demonstrar:
- Mostrar que o torque externo (somatório dos momentos das forças externas) calculado em relação a
é igual ao torque externo calculado em relação a , ou seja que , sob a hipótese .
Passo 2
Relembrando as definições e propriedades que vou usar (bem mastigado):
- Torque (momento) externo em relação a um ponto
: somatório dos momentos das forças externas medidas a partir de . Em notação vetorial, Aqui é o produto vetorial: dado dois vetores e , é outro vetor perpendicular aos dois e com magnitude igual à área do paralelogramo formado por e . - Propriedades do produto vetorial importantes e simples que vou usar:
- Distributividade:
. - Linearidade em cada argumento:
para escalar . - Anticomutatividade:
.
- Distributividade:
Vou usar essas propriedades para relacionar
com
.
Passo 3
Escrever a expressão do torque externo em relação ao ponto
. Lembrando que
,
Passo 4
Usar a distributividade do produto vetorial para expandir a soma:
Passo 5
Reconhecer o primeiro somatório como o torque em relação a
:
No segundo somatório,
é o mesmo vetor para todas as partículas, portanto pode ser colocado fora da soma:
Assim obtenho a relação exata entre os torques em
e em
:
Passo 6
Aplicar a hipótese do enunciado: a resultante das forças externas é nula,
Substituindo na relação do passo anterior:
Passo 7
Interpretação física curta e incentivo: a demonstração acima mostra que o único termo que poderia causar diferença entre dois torques calculados em pontos distintos é o produto vetorial entre o vetor de translação
(deslocamento entre as origens) e a força resultante total. Se essa força resultante é nula, não sobra nenhum termo extra — por isso o torque externo é independente da escolha do ponto de referência. Você fez bem em pedir para comparar fórmulas: a conta é curta e direta. Força resultante nula = torque igual em qualquer origem. Segura a ansiedade: isso é um resultado útil e aparece muito em mecânica (por exemplo para discutir equilíbrio rotacional).