Uma partícula de massa m é colocada nas proximidades de uma casca esférica (de espessura desprezível) de massa M e raio R. A partícula está a uma distância r do centro da esfera.
(1,0) (a) Determine o módulo da força gravitacional que a casca esférica faz na partícula em função de r. Resolva para r<R e r>R.
(1,0) (b) Assuma que o potencial gravitacional é igual a zero na casca U(r=R)=0 e determine o valor do potencial em função de r. Resolva para r<R e r>R.
(0,5) Esboce os gráficos dos resultados obtidos em (a) e (b).

Passo 1

O enunciado pede a força gravitacional e o potencial que uma casca esférica de massa M exerce sobre uma partícula de massa m a uma distância r do centro. O conteúdo principal aqui é o teorema da casca esférica (para força) e a relação entre força e potencial gravitacional.

Passo 2

Para r>R, pelo teorema da casca esférica toda a massa M da casca pode ser considerada concentrada no centro. A força de atração é, então, a de Newton entre duas massas:
F(r) ;=; G,M,mr^2

Passo 3

Para r<R, o teorema da casca diz que a contribuição de cada elemento de massa da casca se cancela, resultando em força nula. Logo,
F(r)=0, r<R

Passo 4

O potencial satisfaz . Para e impondo , temos
portanto

Passo 5

Para , como implica , o potencial é constante. Pela condição de continuidade em (e ), temos

Passo 6

Esboço qualitativo:
  • Força F(r): nula até r=R, salta para G,M,m/R^2 em r=R e decai como 1/r^2 para r>R.
  • Potencial U(r): constante zero em r<R, junta-se em r=R e decai monotonamente para valores negativos, tendendo a -G,M,m/R quando rtoinfty.

Resposta

(a)
F(r)= 0, & r<R,[6pt] dfracG,M,mr^2, & r>R
(b)
U(r)= 0, & r<R,[6pt] G,M,ml(dfrac1r-dfrac1Rr), & r>R ]

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