Uma partícula de massa
é colocada nas proximidades de uma casca esférica (de espessura desprezível) de massa
e raio
. A partícula está a uma distância
do centro da esfera.
(a) Determine o módulo da força gravitacional que a casca esférica faz na partícula em função de
. Resolva para
e
.
(b) Assuma que o potencial gravitacional é igual a zero na casca
e determine o valor do potencial em função de
. Resolva para
e
.
Esboce os gráficos dos resultados obtidos em (a) e (b).
Passo 1
O enunciado pede a força gravitacional e o potencial que uma casca esférica de massa
exerce sobre uma partícula de massa
a uma distância
do centro. O conteúdo principal aqui é o teorema da casca esférica (para força) e a relação entre força e potencial gravitacional.
Passo 2
Para
, pelo teorema da casca esférica toda a massa
da casca pode ser considerada concentrada no centro. A força de atração é, então, a de Newton entre duas massas:
Passo 3
Para
, o teorema da casca diz que a contribuição de cada elemento de massa da casca se cancela, resultando em força nula. Logo,
Passo 4
O potencial
satisfaz . Para
e impondo
, temos
portanto
Passo 5
Para
, como
implica , o potencial é constante. Pela condição de continuidade em
(e
), temos
Passo 6
Esboço qualitativo:
- Força
: nula até , salta para em e decai como para . - Potencial
: constante zero em , junta-se em e decai monotonamente para valores negativos, tendendo a quando .
Resposta
(a)
(b)