Uma molécula - com formato de halteres de comprimento L - encontra-se a uma distância r do eixo de um cilindro metálico infinitamente longo. O cilindro está carregado uniformente de tal modo que a carga existente, em uma unidade de seu comprimento, é igual a lambda. Considere que nos extremos da molécula encontram-se as cargas +q e -q. Mostre que a força elétrica que atua na molécula é igual a
F=lambda q L2 pi varepsilon0 r(r+L)

Passo 1

O enunciado descreve uma molécula em forma de halteres, composta por duas cargas pontuais +q e -q separadas por um comprimento L, cujo eixo dos halteres está alinhado radialmente a uma distância r do eixo de um cilindro metálico infinitamente longo com densidade linear de carga lambda. Precisamos usar o campo elétrico criado por um fio infinito e a superposição de forças sobre cada carga para obter a força resultante na molécula.

Passo 2

O campo elétrico de um fio infinitamente longo, com densidade linear lambda, em um ponto a distância s do eixo é radialmente dirigido e tem módulo
E(s) = lambda2pivarepsilon0,s

Passo 3

Cada carga sofre uma força eletrostática F=q,E. A carga +q, mais próxima, está em s=r e sente
F+ = +q,E(r),hat r
A carga -q, mais distante, está em s=r+L e sente
F- = -q,E(r+L),hat r
O sinal em F- indica que a força sobre -q é no sentido oposto ao campo.

Passo 4

Pela superposição, a força total radial sobre a molécula é
F = F+ + F- = q,E(r),hat r ;-; q,E(r+L),hat r = ql(E(r)-E(r+L)r)hat r
Substituindo os valores de E(r) e E(r+L), obtemos
F = q!(lambda2pivarepsilon0,r -lambda2pivarepsilon0,(r+L))

Passo 5

Fatorando lambda q2pivarepsilon0 e simplificando a diferença de inversos, vem
F =lambda q2pivarepsilon0 l(tfrac1r-tfrac1r+Lr) =lambda q2pivarepsilon0 (r+L)-rr(r+L) =lambda q,L2pivarepsilon0,r,(r+L)

Resposta

F=lambda q L2 pi varepsilon0 r(r+L)

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