Uma partícula de massa
e energia
se move em direção à origem de um sistema
com a velocidade
da partícula fazendo um ângulo
com o eixo dos
. Usando as transformações de Lorentz da energia e do momento, determine a energia
da partícula do ponto de vista de um observador em um referencial
que está se movendo em relação a
de tal forma que a partícula se move na direção do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
e energia
que está se movendo em direção à origem do sistema de referência
. Ela tem uma velocidade
, formando um ângulo
com o eixo
. A gente precisa usar as transformações de Lorentz, que são fórmulas da teoria da relatividade, para encontrar a energia
dessa partícula a partir do ponto de vista de um observador num outro sistema de referência
. Esse
está se movendo em relação a
de tal forma que, no
, a partícula se move ao longo do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das transformações de Lorentz para energia e momento. Essas fórmulas nos ajudam a passar de um sistema de referência para outro que está se movendo a uma certa velocidade relativa. As equações são:
Aqui,
é o fator de Lorentz,
é a velocidade relativa entre os sistemas
e
,
é o momento da partícula no sistema
, e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Como queremos que, no sistema
, a partícula se mova apenas ao longo do eixo
, isso significa que a componente do momento na direção perpendicular (no caso, no eixo
) deve ser zero. Portanto, precisamos escolher a velocidade
do referencial
de forma que anule a componente de momento na direção
.
Passo 4
Vamos definir a velocidade do referencial
para que a partícula no
não tenha componente de velocidade no eixo
. Isso significa que a velocidade
de
deve ser igual à componente da velocidade
da partícula no eixo
no referencial
. A componente
da velocidade
é dada por:
Portanto, escolhemos:
Passo 5
Com essa escolha de
, vamos calcular o fator de Lorentz
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia
usando a transformação de Lorentz para energia:
Sabemos que
, onde . E a componente da velocidade
na direção da partícula é
. Portanto:
Substituindo na equação de
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que a energia total
da partícula é:
Substituindo na equação de
:
Fatorando
:
Substituindo
:
Passo 8
Esta expressão pode ser simplificada dependendo das informações adicionais sobre o ângulo
ou a velocidade
, mas, para o propósito da questão, já conseguimos expressar
em termos conhecidos.
Resposta
A energia da partícula no referencial
é dada por: