Uma partícula de massa m e energia E se move em direção à origem de um sistema S com a velocidade u da partícula fazendo um ângulo alpha com o eixo dos y. Usando as transformações de Lorentz da energia e do momento, determine a energia E^prime da partícula do ponto de vista de um observador em um referencial S^prime que está se movendo em relação a S de tal forma que a partícula se move na direção do eixo y^prime.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa m e energia E que está se movendo em direção à origem do sistema de referência S. Ela tem uma velocidade u, formando um ângulo alpha com o eixo y. A gente precisa usar as transformações de Lorentz, que são fórmulas da teoria da relatividade, para encontrar a energia E^prime dessa partícula a partir do ponto de vista de um observador num outro sistema de referência S^prime. Esse S^prime está se movendo em relação a S de tal forma que, no S^prime, a partícula se move ao longo do eixo y^prime.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das transformações de Lorentz para energia e momento. Essas fórmulas nos ajudam a passar de um sistema de referência para outro que está se movendo a uma certa velocidade relativa. As equações são:
E' = gamma (E - v cdot p)
p' = p + [ (gamma - 1)v^2 (v cdot p) - gamma E ] v
Aqui, gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz, v é a velocidade relativa entre os sistemas S e S^prime, p é o momento da partícula no sistema S, e c é a velocidade da luz.

Passo 3

Como queremos que, no sistema S^prime, a partícula se mova apenas ao longo do eixo y^prime, isso significa que a componente do momento na direção perpendicular (no caso, no eixo x^prime) deve ser zero. Portanto, precisamos escolher a velocidade v do referencial S^prime de forma que anule a componente de momento na direção x.

Passo 4

Vamos definir a velocidade do referencial S^prime para que a partícula no S^prime não tenha componente de velocidade no eixo x^prime. Isso significa que a velocidade v de S^prime deve ser igual à componente da velocidade u da partícula no eixo x no referencial S. A componente ux da velocidade u é dada por:
ux = u sin alpha
Portanto, escolhemos:
v = u sin alpha

Passo 5

Com essa escolha de v, vamos calcular o fator de Lorentz gamma:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2 = 1raiz1 - u^2 sin^2 alphac^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia E^prime usando a transformação de Lorentz para energia:
E' = gamma (E - v cdot p)
Sabemos que p = gammau m u, onde . E a componente da velocidade gammau = 1raiz1 - u^2c^2 na direção da partícula é v. Portanto:
v = u sin alpha
Substituindo na equação de v cdot p = v py = v gammau m u cos alpha :
E'

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que a energia total E da partícula é:
E = gammau m c^2
Substituindo na equação de E':
E' = gamma ( gammau m c^2 - v gammau m u cos alpha )
Fatorando gammau m:
E' = gamma gammau m ( c^2 - v u cos alpha )
Substituindo v = u sin alpha:
E' = gamma gammau m ( c^2 - u^2 sin alpha cos alpha )

Passo 8

Esta expressão pode ser simplificada dependendo das informações adicionais sobre o ângulo alpha ou a velocidade u, mas, para o propósito da questão, já conseguimos expressar E' em termos conhecidos.

Resposta

A energia da partícula no referencial S^prime é dada por:
E' = gamma gammau m ( c^2 - u^2 sin alpha cos alpha )

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