Uma partícula de massa m e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é
.
a) Determine a energia potencial
da partícula em função de
;
b) faça um gráfico de
em função de
.
a) Determine a energia potencial
b) faça um gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa $ m $ e energia total zero, cuja função de onda é $ \psi(x) = C e{-x{2} / L^{2}} $. O conteúdo envolve mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger independente do tempo. Para resolver, vamos precisar aplicar a equação de Schrödinger para encontrar a energia potencial $ V(x) $, e depois fazer um gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
No nosso caso, a energia total $ E = 0 $, então a equação fica:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar $ V(x) $. Vamos isolar $ V(x) $:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a segunda derivada da função de onda $ \psi(x) = C e{-x{2} / L^{2}} $. Vamos primeiro encontrar a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na expressão para $ V(x) $:
Podemos simplificar:
Passo 6
Agora, temos a expressão para a energia potencial $ V(x) $ em função de $ x $:
Passo 7
Para o item b), vamos analisar o gráfico de $ V(x) $. Observando a expressão, vemos que $ V(x) $ é uma função quadrática de $ x $, ou seja, uma parábola. O termo $ \frac{2\hbar^{2}}{m L^{4}} x^{2} $ determina a concavidade para cima, e o termo constante $ -\frac{\hbar^{2}}{m L^{2}} $ desloca a parábola para baixo.
Resposta
a) A energia potencial da partícula em função de $ x $ é:
b) O gráfico de $ V(x) $ é uma parábola com concavidade para cima, deslocada para baixo no eixo $ V $, conforme a expressão acima.