Um plano infinito muito fino tem densidade superficial de carga constante
. Supondo que um disco de raio
seja removido do plano, calcule o campo elétrico ao longo de uma reta (de altura
) que passa pelo centro do disco removido e faz um ângulo de
com o plano. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano infinito e muito fino com uma densidade superficial de carga constante de
. Imagina esse plano como uma folha super grande e carregada. Agora, tiramos um disco de raio
desse plano. A pergunta é: qual é o campo elétrico ao longo de uma linha que passa pelo centro desse disco removido, está a uma altura
acima do plano e faz um ângulo de
com ele.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campo elétrico devido a uma superfície carregada e superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado. Pelo Princípio de Gauss, sabemos que o campo elétrico (
) criado por um plano infinito com densidade superficial de carga
é dado por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo (
).
Passo 3
Agora, como removemos um disco do plano infinito, isso é equivalente a subtrair o campo elétrico que esse disco específico geraria se estivesse presente. Ou seja, o campo resultante (
) será o campo do plano infinito menos o campo do disco removido.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico devido ao disco removido. Para um ponto no eixo perpendicular ao centro do disco, a expressão do campo elétrico (
) é:
Essa fórmula considera a contribuição de todas as partes do disco ao ponto a uma altura
.
Passo 5
Finalmente, o campo elétrico total no ponto desejado será o campo do plano infinito menos o campo do disco removido:
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico ao longo da linha especificada é:
Substituindo
, temos: