Uma esfera sólida (não-condutora) tem raio
e densidade volumétrica de carga constante
. Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o campo elétrico em todos os pontos do espaço devido a uma esfera sólida não-condutora com raio
e densidade volumétrica de carga constante
. Vamos usar os conceitos de Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com alta simetria, como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em dois casos: quando estamos dentro da esfera (
) e quando estamos fora dela (
). A ideia é calcular o campo elétrico
em cada região usando uma superfície imaginária chamada de superfície gaussiana.
Passo 3
Dentro da Esfera (
)
Aqui, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
menor que
. Pela simetria, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial.
A Lei de Gauss diz que:
Onde:
-
é a carga total dentro da superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo.
Como a densidade volumétrica de carga é constante (
), a carga interna é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Fora da Esfera (
)
Agora, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
maior ou igual a
. Toda a carga da esfera está dentro dessa superfície, então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico
gerado pela esfera sólida não-condutora com densidade volumétrica de carga constante
é dado por:
Ou seja, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância ao centro, e fora da esfera, ele diminui proporcionalmente ao quadrado da distância.