Uma partícula de massa
incia um movimento sob a ação de uma força constante
. Após um intervalo de tempo
, a força abruptamente assume a forma
.
(a) Esboce o gráfico
e calcule a posição em função do tempo,
, para
.
(b) Calcule a velocidade da partícula em
.
(a) Esboce o gráfico
(b) Calcule a velocidade da partícula em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula de massa $ m $ sob a ação de uma força que muda com o tempo. A gente precisa entender conceitos de força, aceleração, velocidade e posição no contexto da física clássica, usando as leis de Newton e um pouco de cálculo para integrar as funções de força. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Esboçar o gráfico $ F(t) $ e calcular a posição $ x(t) $ para $ t \leq t_{0} $.
Primeiro, vamos entender como a força varia com o tempo:
- De $ t = 0 $ até $ t = t_{0} $, a força é constante e igual a $ F_{0} $.
- A partir de $ t = t_{0} $, a força começa a decair exponencialmente como $ F(t) = F_{0} e^{-t / t_{0}} $.
Para $ t \leq t_{0} $, a força é constante. Então, o gráfico de $ F(t) $ será uma linha reta horizontal até $ t_{0} $.
Agora, vamos calcular a posição $ x(t) $ para $ t \leq t_{0} $:
- Encontrar a aceleração $ a $:
Sabemos que $ F = m \cdot a $, então: - Calcular a velocidade $ v(t) $:
A aceleração é constante, então a velocidade varia linearmente com o tempo:Assumindo que a partícula parte do repouso ($ v_{0} = 0 $): - Calcular a posição $ x(t) $:
A posição é a integral da velocidade:Considerando que a partícula parte do ponto $ x_{0} = 0 $:
Passo 3
Parte (b): Calcular a velocidade da partícula em $ t = 2 t_{0} $.
Aqui, precisamos considerar que de $ t = t_{0} $ em diante, a força passa a decair exponencialmente. Vamos dividir o cálculo em duas etapas: de $ t = 0 $ até $ t = t_{0} $ e de $ t = t_{0} $ até $ t = 2 t_{0} $.
- De $ t = 0 $ a $ t = t_{0} $:
Já calculamos que a velocidade ao final desse intervalo é: - De $ t = t_{0} $ a $ t = 2 t_{0} $:
A força agora é $ F(t) = F_{0} e^{-t / t_{0}} $. A aceleração correspondente é:A velocidade nesse intervalo é a integral da aceleração: Integrando: Aplicando os limites de integração de $ t_{0} $ a $ 2 t_{0} $: Simplificando:
Resposta
A velocidade da partícula em $ t = 2 t_{0} $ é: