Uma partícula de massa m incia um movimento sob a ação de uma força constante F0. Após um intervalo de tempo t0, a força abruptamente assume a forma F0 e^-t / t0.
(a) Esboce o gráfico F(t) e calcule a posição em função do tempo, x(t), para t <= t0.
(b) Calcule a velocidade da partícula em t=2 t0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula de massa $ m $ sob a ação de uma força que muda com o tempo. A gente precisa entender conceitos de força, aceleração, velocidade e posição no contexto da física clássica, usando as leis de Newton e um pouco de cálculo para integrar as funções de força. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Esboçar o gráfico $ F(t) $ e calcular a posição $ x(t) $ para $ t \leq t_{0} $.
Primeiro, vamos entender como a força varia com o tempo:
  • De $ t = 0 $ até $ t = t_{0} $, a força é constante e igual a $ F_{0} $.
  • A partir de $ t = t_{0} $, a força começa a decair exponencialmente como $ F(t) = F_{0} e^{-t / t_{0}} $.
Para $ t \leq t_{0} $, a força é constante. Então, o gráfico de $ F(t) $ será uma linha reta horizontal até $ t_{0} $.
Agora, vamos calcular a posição $ x(t) $ para $ t \leq t_{0} $:
  1. Encontrar a aceleração $ a $:
    Sabemos que $ F = m \cdot a $, então: F(t)
  2. Calcular a velocidade $ v(t) $:
    A aceleração é constante, então a velocidade varia linearmente com o tempo: x(t) Assumindo que a partícula parte do repouso ($ v_{0} = 0 $): t <= t0
  3. Calcular a posição $ x(t) $:
    A posição é a integral da velocidade: t = 0 Considerando que a partícula parte do ponto $ x_{0} = 0 $: t = t0

Passo 3

Parte (b): Calcular a velocidade da partícula em $ t = 2 t_{0} $.
Aqui, precisamos considerar que de $ t = t_{0} $ em diante, a força passa a decair exponencialmente. Vamos dividir o cálculo em duas etapas: de $ t = 0 $ até $ t = t_{0} $ e de $ t = t_{0} $ até $ t = 2 t_{0} $.
  1. De $ t = 0 $ a $ t = t_{0} $:
    Já calculamos que a velocidade ao final desse intervalo é: t = 2 t0
  2. De $ t = t_{0} $ a $ t = 2 t_{0} $:
    A força agora é $ F(t) = F_{0} e^{-t / t_{0}} $. A aceleração correspondente é: t = t0 A velocidade nesse intervalo é a integral da aceleração: t = 0 Integrando: t = t0 Aplicando os limites de integração de $ t_{0} $ a $ 2 t_{0} $: t = t0 Simplificando: t = 2 t0 t = 0

Resposta

A velocidade da partícula em $ t = 2 t_{0} $ é:
t = 2 t0

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