Uma partícula move-se em trajetória dada por
. Calcule:
(a) A velocidade escalar da partícula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, então a questão diz que a posição da partícula é
e pede:
(a) a velocidade escalar ,
(b) o ângulo entre e
.
Isso envolve:
(a) a velocidade escalar
(b) o ângulo entre
Isso envolve:
- derivar vetorialmente (para achar
e ), - usar magnitude de vetor (
) - usar produto escalar e fórmula
.
A partir do próximo passo, vamo que vamo nas contas!
Passo 2
Primeiro a velocidade vetorial:
A gente usa a regra do produto:
Logo,
Aí a velocidade escalar é
Agora, note que
Então
Passo 3
Pra achar o ângulo, precisamos de
vec vcdotvec a = e^2gamma t,gamma(gamma^2+omega^2), |vec a| = e^gamma t(gamma^2+omega^2) e do produto escalar
costheta = vec vcdotvec a|vec v|;|vec a| = e^2gamma t,gamma(gamma^2+omega^2) ,e^gamma traizgamma^2+omega^2;times; e^gamma t(gamma^2+omega^2), = gammaraizgamma^2+omega^2 .
Sem pular etapas:
Sem pular etapas:
- Deriva
onde
,
. - Faz
,
com ,
. - Calcula
e .
O resultado compacto dá - Então
Isso mostra que o ângulo não depende de
, só de
.
Resposta
(a)
(b) constante.
(b)