Uma partícula move-se em trajetória dada por
r(t)=e^gamma t[sen(omega t) x+cos (omega t) y]. Calcule:
(a) A velocidade escalar da partícula em função do tempo.
(b) O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, então a questão diz que a posição da partícula é
vec r(t) = e^gamma tl[sin(omega t),hat x + cos(omega t),hat yr]
e pede:
(a) a velocidade escalar ,
(b) o ângulo entre e .
Isso envolve:
  • derivar vetorialmente (para achar e ),
  • usar magnitude de vetor ( )
  • usar produto escalar e fórmula .
A partir do próximo passo, vamo que vamo nas contas!

Passo 2

Primeiro a velocidade vetorial:
vec v(t)=ddtl[e^gamma t(sinomega t,hat x+cosomega t,hat y)r]
A gente usa a regra do produto:
vec v = underbracegamma e^gamma tderivada de e^gamma t(sinomega t,hat x+cosomega t,hat y) + e^gamma tl[omegacosomega t,hat x - omegasinomega t,hat yr]
Logo,
vec v(t) = e^gamma tl[(gammasinomega t + omegacosomega t),hat x +(gammacosomega t - omegasinomega t),hat yr]
Aí a velocidade escalar é
v(t)=|vec v(t)| = e^gamma traiz(gammasinomega t + omegacosomega t)^2 +(gammacosomega t - omegasinomega t)^2
Agora, note que
(gammasin+omegacos)^2+(gammacos-omegasin)^2 =gamma^2(sin^2+cos^2)+omega^2(cos^2+sin^2) =gamma^2+omega^2
Então
boxedv(t)=e^gamma traizgamma^2+omega^2

Passo 3

Pra achar o ângulo, precisamos de vec vcdotvec a = e^2gamma t,gamma(gamma^2+omega^2), |vec a| = e^gamma t(gamma^2+omega^2) e do produto escalar costheta = vec vcdotvec a|vec v|;|vec a| = e^2gamma t,gamma(gamma^2+omega^2) ,e^gamma traizgamma^2+omega^2;times; e^gamma t(gamma^2+omega^2), = gammaraizgamma^2+omega^2 .
Sem pular etapas:
  1. Deriva onde
    ,
    .
  2. Faz ,
    com ,
    .
  3. Calcula e .
    O resultado compacto dá
  4. Então
Isso mostra que o ângulo não depende de , só de .

Resposta

(a)
(b) constante.

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