Uma partícula de massa
está limitada a se movimentar apenas ao longo de uma linha de comprimento
. Use argumentos baseados na interpretação ondulatória da matéria para mostrar que sua energia só pode ter valores discretos. Depois encontre estes valores. Analise este problema e certifique-se de entender bem que a quantização das propriedades físicas das partículas é uma consequência do fato de que ela é representada por ondas, e estas ondas estão confinadas no espaço, resultando em superposição (batimento). Esta é a razão porque uma onda plana não serve para representar uma partícula material. É necessário haver batimento para controlar a localização espacial na qual a intensidade é não nula. É nesta região que consideramos que a partícula esteja.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa
está confinada ao movimento unidimensional num “poço” de comprimento
. O objetivo é usar a interpretação ondulatória da matéria (de Broglie) para mostrar que a energia só admite valores discretos. Para isso vamos modelar a partícula como onda estacionária, impor condições de contorno (nó nas paredes do poço) e então obter a quantização de momento e de energia.
Passo 2
Uma partícula livre seria representada por ondas planas
, mas elas não estão localizadas em nenhum intervalo finito. Para confiná-las no trecho
fazemos a superposição
ou, equivalentemente,
que são ondas estacionárias. Impomos que a amplitude se anule nas “paredes” em
e
, isto é,
Da forma
vem imediatamente
e
Logo
o que equivale a dizer
Passo 3
Pela relação de Broglie entre número de onda e momento, temos
Passo 4
Como não há potencial no interior do poço (energia cinética apenas),
com
. São valores discretos porque só existem ondas estacionárias que “cabem” no poço.