Uma partícula de massa m está limitada a se movimentar apenas ao longo de uma linha de comprimento L. Use argumentos baseados na interpretação ondulatória da matéria para mostrar que sua energia só pode ter valores discretos. Depois encontre estes valores. Analise este problema e certifique-se de entender bem que a quantização das propriedades físicas das partículas é uma consequência do fato de que ela é representada por ondas, e estas ondas estão confinadas no espaço, resultando em superposição (batimento). Esta é a razão porque uma onda plana não serve para representar uma partícula material. É necessário haver batimento para controlar a localização espacial na qual a intensidade é não nula. É nesta região que consideramos que a partícula esteja.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m está confinada ao movimento unidimensional num “poço” de comprimento L. O objetivo é usar a interpretação ondulatória da matéria (de Broglie) para mostrar que a energia só admite valores discretos. Para isso vamos modelar a partícula como onda estacionária, impor condições de contorno (nó nas paredes do poço) e então obter a quantização de momento e de energia.

Passo 2

Uma partícula livre seria representada por ondas planas \exp(\pm i k x), mas elas não estão localizadas em nenhum intervalo finito. Para confiná-las no trecho 0\le x\le L fazemos a superposição
\psi(x)=A\,e^{ikx}+A\,e^{-ikx}=2A\cos(kx)
ou, equivalentemente,
\psi(x)=B\,\sin(kx),
que são ondas estacionárias. Impomos que a amplitude se anule nas “paredes” em x=0 e x=L, isto é,
\psi(0)=0,\quad \psi(L)=0.
Da forma \psi(x)=B\sin(kx) vem imediatamente
\psi(0)=B\sin(0)=0\quad\text{(ok)}
e
\psi(L)=B\sin(kL)=0\;\Longrightarrow\;kL=n\pi,\quad n=1,2,3,\dots
Logo
k_n=\frac{n\pi}{L},
o que equivale a dizer
\lambda_n=\frac{2\pi}{k_n}=\frac{2L}{n}.

Passo 3

Pela relação de Broglie entre número de onda e momento, temos
p_n=\hbar\,k_n=\hbar\,\frac{n\pi}{L}.

Passo 4

Como não há potencial no interior do poço (energia cinética apenas),
E_n=\frac{p_n^2}{2m} =\frac{(\hbar\,n\pi/L)^2}{2m} =\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\,m\,L^2},
com n=1,2,3,\dots. São valores discretos porque só existem ondas estacionárias que “cabem” no poço.

Resposta

E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\,m\,L^2},\quad n=1,2,3,\dots

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