Considere uma partícula cuja energia é muito maior do que sua própria energia de repouso. Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para ela é aproximadamente igual ao comprimento de onda de um fóton com a mesma energia da partícula.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando a energia total
de uma partícula é muito maior que sua energia de repouso
, o comprimento de onda de de Broglie
é aproximadamente igual ao comprimento de onda de um fóton que tenha a mesma energia
. O conteúdo principal que vamos usar é a relação relativística entre energia e momento
e a definição do comprimento de onda de um fóton
Passo 2
A partir de
podemos isolar o momento relativístico
da partícula:
Passo 3
Como estamos no regime ultrarrelativístico, isto é,
podemos fazer a expansão em série para
. Ao desprezar termos de ordem
ou menores, fica
Logo,
Passo 4
Substituindo essa aproximação no comprimento de onda de de Broglie,
Passo 5
Mas
é exatamente o comprimento de onda de um fóton de energia
. Portanto, em regime ultrarrelativístico,
Resposta
Quando
,