Considere uma partícula cuja energia é muito maior do que sua própria energia de repouso. Mostre que o comprimento de onda de de Broglie para ela é aproximadamente igual ao comprimento de onda de um fóton com a mesma energia da partícula.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando a energia total \displaystyle E de uma partícula é muito maior que sua energia de repouso \displaystyle mc^2, o comprimento de onda de de Broglie
\lambda_{\text{dB}}=\frac{h}{p}
é aproximadamente igual ao comprimento de onda de um fóton que tenha a mesma energia \displaystyle E. O conteúdo principal que vamos usar é a relação relativística entre energia e momento
E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4
e a definição do comprimento de onda de um fóton
\lambda_{\text{ph}} = \frac{hc}{E}.

Passo 2

A partir de
E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4
podemos isolar o momento relativístico \displaystyle p da partícula:
p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - m^2 c^4}.

Passo 3

Como estamos no regime ultrarrelativístico, isto é,
E \gg mc^2,
podemos fazer a expansão em série para \sqrt{E^2 - m^2c^4}. Ao desprezar termos de ordem \displaystyle (mc^2/E)^2 ou menores, fica
\sqrt{E^2 - m^2c^4}\approx E\Biggl(1 - \frac{m^2c^4}{2E^2}\Biggr)\approx E.
Logo,
p\approx \frac{E}{c}.

Passo 4

Substituindo essa aproximação no comprimento de onda de de Broglie,
\lambda_{\text{dB}}=\frac{h}{p}\approx \frac{h}{E/c} = \frac{hc}{E}.

Passo 5

Mas \displaystyle \lambda_{\text{ph}}=\frac{hc}{E} é exatamente o comprimento de onda de um fóton de energia \displaystyle E. Portanto, em regime ultrarrelativístico,
\lambda_{\text{dB}}\approx \lambda_{\text{ph}}.

Resposta

Quando E\gg mc^2, \displaystyle \lambda_{\text{dB}}\approx\lambda_{\text{ph}}=\frac{hc}{E}.

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