Uma partícula de massa m se move dentro de um poço potencial de comprimento a possui no seu estado inicial \mathrm{t}=0 a função de onda:
\psi(x, 0)=\frac{A}{\sqrt{a}} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\sqrt{\frac{3}{5 a}} \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi x}{a}\right)+\frac{1}{\sqrt{5 a}} \operatorname{sen}\left(\frac{5 \pi x}{a}\right), onde A é um constante real.
a) Encontre o valor de A para que \psi(x, 0) seja normalizada;
b) Se forem realizadas medições de energia, quais são os valores que serão encontrados e quais são as probabilidades correspondentes? Calcule o valor médio da energia;
c) Encontre a função de onda \psi(x, t) em qualquer momento posterior t ;
d) Determine a probabilidade de encontrar o sistema em um tempo t no estado \varphi(x, t)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} \operatorname{sen}\left(\frac{5 \pi x}{a}\right) \exp \left(-\frac{i E_{5} t}{\hbar}\right); Então, determine a probabilidade de encontrá-lo no estado \chi(x, t)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi x}{a}\right) \exp \left(-\frac{i E_{2} t}{\hbar}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função de onda inicial (no interior do poço, que assumimos ser 0<x<a):
\psi(x,0)=\frac{A}{\sqrt{a}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right) +\sqrt{\frac{3}{5a}}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right) +\frac{1}{\sqrt{5a}}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{a}\right),
onde A é uma constante real desconhecida. As perguntas são:
a) Determinar A para que \psi(x,0) esteja normalizada (ou seja \int_0^a |\psi(x,0)|^2 dx=1).
b) Quais valores de energia podem ser obtidos em medidas e quais as probabilidades correspondentes? Calcular o valor médio da energia.
c) Obter \psi(x,t) em tempo arbitrário t.
d) Determinar a probabilidade, em tempo t, de encontrar o sistema no estado \varphi(x,t)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}\sin\!\left(\dfrac{5\pi x}{a}\right)e^{-iE_5 t/\hbar} e, separadamente, no estado \chi(x,t)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)e^{-iE_2 t/\hbar}.

Passo 2

Relembrando as funções próprias do poço infinito de comprimento a (estas são uma base ortonormal):
\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad n=1,2,3,\dots
com energias
E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2 m a^2}.
Ortonormalidade significa
\int_0^a \varphi_n(x)\varphi_m(x)\,dx=\delta_{nm},
onde \delta_{nm}=1 se n=m e 0 se n\neq m.
Queremos escrever \psi(x,0) como combinação linear das \varphi_n:
\psi(x,0)=\sum_n c_n \varphi_n(x),
onde os coeficientes são c_n=\int_0^a \varphi_n^*(x)\psi(x,0)\,dx. Observando a forma dada de \psi(x,0), só aparecem termos com \sin(\pi x/a), \sin(3\pi x/a) e \sin(5\pi x/a), então apenas c_1,c_3,c_5 podem ser não nulos. Em vez de integrar, pode-se igualar coeficientes usando \varphi_n(x)=\sqrt{2/a}\sin(n\pi x/a). Por exemplo, o primeiro termo da \psi é \dfrac{A}{\sqrt{a}}\sin(\pi x/a) e deve ser igual a c_1\sqrt{2/a}\sin(\pi x/a), portanto
c_1=\frac{\dfrac{A}{\sqrt{a}}}{\sqrt{2/a}}=\frac{A}{\sqrt{2}}.
Analogamente
c_3=\frac{\sqrt{3/(5a)}}{\sqrt{2/a}}=\sqrt{\frac{3}{10}},\qquad c_5=\frac{1/\sqrt{5a}}{\sqrt{2/a}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Os demais c_n são zero.

Passo 3

Normalização da função de onda exige
\sum_n |c_n|^2=1.
Aqui só há três termos:
|c_1|^2+|c_3|^2+|c_5|^2=1.
Substituindo os c_n encontrados:
\frac{A^2}{2}+\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=1.
Somando os últimos dois termos dá \dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}. Assim
\frac{A^2}{2}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.
Portanto
A^2=\frac{6}{5}\quad\Rightarrow\quad A=\pm\sqrt{\frac{6}{5}}.
Como o enunciado disse apenas que A é real, ambos os sinais são matematicamente possíveis; usualmente escolhe-se o sinal positivo:
A=\sqrt{\frac{6}{5}}.

Passo 4

Medidas de energia retornam valores E_n correspondentes aos níveis presentes na expansão ( n=1,3,5). Usando a fórmula de energia:
E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2 m a^2},
os valores possíveis são \;E_1,\;E_3,\;E_5 com:
E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2 m a^2},\qquad E_3=9E_1,\qquad E_5=25E_1.
As probabilidades são P_n=|c_n|^2. Usando A^2=6/5:
P_1=|c_1|^2=\frac{A^2}{2}=\frac{6/5}{2}=\frac{3}{5},
P_3=|c_3|^2=\frac{3}{10}, \qquad P_5=|c_5|^2=\frac{1}{10}.
Verificação rápida: \dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}=1.
Cálculo do valor médio da energia:
\langle E\rangle=\sum_n P_n E_n = P_1 E_1 + P_3 E_3 + P_5 E_5.
Substituindo E_3=9E_1 e E_5=25E_1:
\langle E\rangle = E_1\!\left(\frac{3}{5}+\frac{3}{10}\cdot 9+\frac{1}{10}\cdot 25\right) =E_1\!\left(\frac{6}{10}+\frac{27}{10}+\frac{25}{10}\right)=E_1\frac{58}{10}=\frac{29}{5}E_1.
Escrevendo em termos de constantes:
\langle E\rangle=\frac{29}{5}\cdot\frac{\pi^2\hbar^2}{2 m a^2}=\frac{29\pi^2\hbar^2}{10 m a^2}.

Passo 5

Evolução temporal: cada autofunção pega um fator de fase temporal e^{-iE_n t/\hbar}. Assim, a solução para tempo t é
\psi(x,t)=\sum_n c_n \varphi_n(x) e^{-iE_n t/\hbar}.
Substituindo os c_n e as \varphi_n (ou simplesmente multiplicando cada termo original por sua fase), obtemos
\psi(x,t)=\frac{A}{\sqrt{a}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)e^{-iE_1 t/\hbar} +\sqrt{\frac{3}{5a}}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)e^{-iE_3 t/\hbar} +\frac{1}{\sqrt{5a}}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{a}\right)e^{-iE_5 t/\hbar}.
(Observação: escolher A=\sqrt{6/5} se for o caso.)

Passo 6

Probabilidade de encontrar o sistema no estado \varphi(x,t)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}\sin\!\left(\dfrac{5\pi x}{a}\right)e^{-iE_5 t/\hbar}:
essa probabilidade é P(\varphi)=|\langle \varphi(\cdot,t)\mid\psi(\cdot,t)\rangle|^2. Como \varphi é exatamente o autofunção n=5 (apenas com a fase e^{-iE_5 t/\hbar}), o produto interno dá c_5 e^{i(E_5-E_5)t/\hbar}=c_5. Assim a probabilidade é independente do tempo e vale
P(\varphi)=|c_5|^2=\frac{1}{10}.

Passo 7

Probabilidade de encontrar o sistema no estado \chi(x,t)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}}\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)e^{-iE_2 t/\hbar}:
a expansão inicial não tem componente em n=2, ou seja c_2=0. Portanto o produto interno \langle\chi|\psi\rangle=0 para todo t e a probabilidade é
P(\chi)=0.

Resposta

A=\pm\sqrt{\dfrac{6}{5}} \quad (escolha usual: A=\sqrt{6/5}).
Valores de energia possíveis:
\;E_1=\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2 m a^2},\;E_3=9E_1,\;E_5=25E_1.
Probabilidades correspondentes:
\;P_1=\dfrac{3}{5},\;P_3=\dfrac{3}{10},\;P_5=\dfrac{1}{10}.
Valor médio da energia:
\displaystyle \langle E\rangle=\frac{29}{5}E_1=\frac{29\pi^2\hbar^2}{10 m a^2}.
Função de onda em tempo t:
\psi(x,t)=\frac{A}{\sqrt{a}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)e^{-iE_1 t/\hbar} +\sqrt{\frac{3}{5a}}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)e^{-iE_3 t/\hbar} +\frac{1}{\sqrt{5a}}\sin\!\left(\frac{5\pi x}{a}\right)e^{-iE_5 t/\hbar}.
Probabilidade de encontrar em \varphi(x,t): \;P(\varphi)=\dfrac{1}{10}.
Probabilidade de encontrar em \chi(x,t): \;P(\chi)=0.

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