Uma partícula de massa
se move dentro de um poço potencial de comprimento a possui no seu estado inicial
a função de onda:
, onde A é um constante real.
a) Encontre o valor de A para que
seja normalizada;
b) Se forem realizadas medições de energia, quais são os valores que serão encontrados e quais são as probabilidades correspondentes? Calcule o valor médio da energia;
c) Encontre a função de onda
em qualquer momento posterior t ;
d) Determine a probabilidade de encontrar o sistema em um tempo t no estado
; Então, determine a probabilidade de encontrá-lo no estado
.
a) Encontre o valor de A para que
b) Se forem realizadas medições de energia, quais são os valores que serão encontrados e quais são as probabilidades correspondentes? Calcule o valor médio da energia;
c) Encontre a função de onda
d) Determine a probabilidade de encontrar o sistema em um tempo t no estado
Passo 1
O enunciado dá a função de onda inicial (no interior do poço, que assumimos ser
):
onde
é uma constante real desconhecida. As perguntas são:
a) Determinar para que
esteja normalizada (ou seja
).
b) Quais valores de energia podem ser obtidos em medidas e quais as probabilidades correspondentes? Calcular o valor médio da energia.
c) Obter em tempo arbitrário
.
d) Determinar a probabilidade, em tempo , de encontrar o sistema no estado
e, separadamente, no estado
.
a) Determinar
b) Quais valores de energia podem ser obtidos em medidas e quais as probabilidades correspondentes? Calcular o valor médio da energia.
c) Obter
d) Determinar a probabilidade, em tempo
Passo 2
Relembrando as funções próprias do poço infinito de comprimento
(estas são uma base ortonormal):
com energias
Ortonormalidade significa
onde
se
e
se
.
Queremos escrever
como combinação linear das
:
onde os coeficientes são
. Observando a forma dada de
, só aparecem termos com
,
e
, então apenas
podem ser não nulos. Em vez de integrar, pode-se igualar coeficientes usando
. Por exemplo, o primeiro termo da
é
e deve ser igual a
, portanto
Analogamente
Os demais
são zero.
Passo 3
Normalização da função de onda exige
Aqui só há três termos:
Substituindo os
encontrados:
Somando os últimos dois termos dá
. Assim
Portanto
Como o enunciado disse apenas que
é real, ambos os sinais são matematicamente possíveis; usualmente escolhe-se o sinal positivo:
Passo 4
Medidas de energia retornam valores
correspondentes aos níveis presentes na expansão (
). Usando a fórmula de energia:
os valores possíveis são
com:
As probabilidades são
. Usando
:
Verificação rápida:
.
Cálculo do valor médio da energia:
Substituindo
e
:
Escrevendo em termos de constantes:
Passo 5
Evolução temporal: cada autofunção pega um fator de fase temporal
. Assim, a solução para tempo
é
Substituindo os
e as
(ou simplesmente multiplicando cada termo original por sua fase), obtemos
(Observação: escolher
se for o caso.)
Passo 6
Probabilidade de encontrar o sistema no estado
:
essa probabilidade é . Como
é exatamente o autofunção
(apenas com a fase
), o produto interno dá
. Assim a probabilidade é independente do tempo e vale
essa probabilidade é
Passo 7
Probabilidade de encontrar o sistema no estado
:
a expansão inicial não tem componente em , ou seja
. Portanto o produto interno
para todo
e a probabilidade é
a expansão inicial não tem componente em
Resposta
Valores de energia possíveis:
Probabilidades correspondentes:
Valor médio da energia:
Função de onda em tempo
:
Probabilidade de encontrar em
:
Probabilidade de encontrar em
: