A região limitada pela curva y=\frac{1}{3} x^{3}, pelo eixo y e pela reta y=9 sofre uma rotação em torno do eixo y. Determine o volume do sólido assim obtido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Curva: y=\dfrac{1}{3}x^{3}.
  • Bordas da região: o eixo y (ou seja, x=0) e a reta horizontal y=9.
  • Operação: a região determinada por essas curvas é girada em torno do eixo y.
  • Pedido: determinar o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método de cálculo (explicação e justificativa).
  • Para calcular volumes por rotação em torno do eixo y existem dois métodos comuns: o método dos discos/aros (washers), que integra em y, e o método das cascas cilíndricas (shells), que integra em x.
  • Aqui a fronteira da região à direita é dada por x em função de y (vamos obter x isolado a partir de y=\tfrac{1}{3}x^3), e a região está entre x=0 e essa curva. Isso torna o método dos discos/aros direto e simples: para cada y um disco de raio igual ao x da curva gira formando uma seção circular.
  • Por isso vou usar o método dos discos/aros. (Observação: o método das cascas daria o mesmo resultado, mas exigiria integrar uma função em x; é um pouco menos direto neste caso.)

Passo 3

Ligar a curva a uma função x(y).
  • Partindo de y=\dfrac{1}{3}x^{3}, isolo x:
x^{3}=3y
x=(3y)^{1/3}.
  • Aqui x=(3y)^{1/3} é a abscissa direita da região para cada y entre y=0 e y=9. O eixo y corresponde a x=0.

Passo 4

Escrever a fórmula do volume pelo método dos discos/aros e explicar cada termo.
  • Ao girar em torno do eixo y, um elemento horizontal de espessura dy em altura y gera um disco de raio R(y) igual a distância do eixo y até a curva: R(y)=x(y)=(3y)^{1/3}.
  • A área do disco é \pi [R(y)]^{2}.
  • O volume de um disco de espessura dy é \pi [R(y)]^{2}\,dy.
  • Integrando de y=0 até y=9 obtemos o volume total:
V=\int_{y=0}^{9} \pi\,[R(y)]^{2}\,dy =\pi\int_{0}^{9} \bigl((3y)^{1/3}\bigr)^{2}\,dy.

Passo 5

Simplificar o integrando e preparar a integral.
  • Calculo do integrando:
\bigl((3y)^{1/3}\bigr)^{2}=(3y)^{2/3}=3^{2/3}\,y^{2/3}.
  • Portanto
V=\pi\int_{0}^{9} 3^{2/3}\,y^{2/3}\,dy = \pi\,3^{2/3}\int_{0}^{9} y^{2/3}\,dy.

Passo 6

Calcular a integral indefinida e avaliar nos limites.
  • Regra de potências: para \int y^{p}\,dy = \dfrac{y^{p+1}}{p+1} (quando p\neq -1). Aqui p=\tfrac{2}{3}, então p+1=\tfrac{5}{3}.
  • Logo
\int y^{2/3}\,dy=\frac{y^{5/3}}{5/3}=\frac{3}{5}\,y^{5/3}.
  • Aplicando aos limites:
V=\pi\,3^{2/3}\cdot\left[\frac{3}{5}\,y^{5/3}\right]_{0}^{9} =\pi\,3^{2/3}\cdot\frac{3}{5}\left(9^{5/3}-0\right).

Passo 7

Simplificar as potências de 3 e obter o resultado numérico.
  • Primeiro simplifico o fator \pi\,3^{2/3}\cdot\frac{3}{5} = \pi\cdot\frac{3}{5}\cdot 3^{2/3} = \pi\cdot\frac{3^{5/3}}{5} porque 3\cdot 3^{2/3}=3^{1+2/3}=3^{5/3}.
  • Agora 9^{5/3}=(3^{2})^{5/3}=3^{10/3}.
  • Multiplicando 3^{5/3}\cdot 3^{10/3}=3^{15/3}=3^{5}=243.
  • Portanto
V=\pi\cdot\frac{3^{5/3}}{5}\cdot 9^{5/3} =\pi\cdot\frac{3^{5/3}\cdot 3^{10/3}}{5} =\pi\cdot\frac{3^{5}}{5} =\pi\cdot\frac{243}{5}.

Passo 8

Comentário final e incentivo.
  • Encontramos o volume de forma exata: \dfrac{243}{5}\pi.
  • Bom trabalho até aqui — integrar potências e manipular expoentes é a parte central desse tipo de problema; com prática fica bem mecânico. Vai dar certo na prova!

Resposta

\dfrac{243}{5}\pi

Exercícios relacionados