A região limitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta
sofre uma rotação em torno do eixo
. Determine o volume do sólido assim obtido.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Curva:
. - Bordas da região: o eixo
(ou seja, ) e a reta horizontal . - Operação: a região determinada por essas curvas é girada em torno do eixo
. - Pedido: determinar o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método de cálculo (explicação e justificativa).
- Para calcular volumes por rotação em torno do eixo
existem dois métodos comuns: o método dos discos/aros (washers), que integra em , e o método das cascas cilíndricas (shells), que integra em . - Aqui a fronteira da região à direita é dada por
em função de (vamos obter isolado a partir de ), e a região está entre e essa curva. Isso torna o método dos discos/aros direto e simples: para cada um disco de raio igual ao da curva gira formando uma seção circular. - Por isso vou usar o método dos discos/aros. (Observação: o método das cascas daria o mesmo resultado, mas exigiria integrar uma função em
; é um pouco menos direto neste caso.)
Passo 3
Ligar a curva a uma função
.
- Partindo de
, isolo :
- Aqui
é a abscissa direita da região para cada entre e . O eixo corresponde a .
Passo 4
Escrever a fórmula do volume pelo método dos discos/aros e explicar cada termo.
- Ao girar em torno do eixo
, um elemento horizontal de espessura em altura gera um disco de raio igual a distância do eixo até a curva: . - A área do disco é
. - O volume de um disco de espessura
é . - Integrando de
até obtemos o volume total:
Passo 5
Simplificar o integrando e preparar a integral.
- Calculo do integrando:
- Portanto
Passo 6
Calcular a integral indefinida e avaliar nos limites.
- Regra de potências: para
(quando ). Aqui , então . - Logo
- Aplicando aos limites:
Passo 7
Simplificar as potências de
e obter o resultado numérico.
- Primeiro simplifico o fator
porque . - Agora
. - Multiplicando
. - Portanto
Passo 8
Comentário final e incentivo.
- Encontramos o volume de forma exata:
. - Bom trabalho até aqui — integrar potências e manipular expoentes é a parte central desse tipo de problema; com prática fica bem mecânico. Vai dar certo na prova!