. (Symon 2.21) Uma partícula de massa m acha-se sob a ação de uma força cuja energia potencial é
U(x)=a x^{2}-b x^{3}
a). Determine a força.
b). A partícula parte da origem x=0 com velocidade v_{0}. Mostre que, se \left|v_{0}\right|<v_{c}, onde v_{c} é uma certa velocidade critíca, a partícula permanecerá confinada à região próxima da origem. Determine v_{c}.
\left(\right. resposta: a) F(t)=-2 a x+3 b x^{2}; b) \left.v_{c}^{2}=8 m a^{3} /\left(27 b^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a energia potencial
U(x)=a x^{2}-b x^{3}
para uma partícula de massa m. Na parte (a) precisamos obter a força associada a esse potencial, usando a relação clássica F(x)=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}. Na parte (b) a partícula sai de x=0 com velocidade inicial v_{0} e devemos mostrar que, se \lvert v_{0}\rvert for menor que uma certa velocidade crítica v_{c}, ela não escapa da região em torno de x=0. Para isso vamos usar conservação da energia mecânica e analisar o ponto de máximo de U(x).

Passo 2

Para encontrar a força usamos
F(x) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}.
Como
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = 2a x \;-\;3b x^{2},
segue-se
F(x) = -\bigl(2a x - 3b x^{2}\bigr) = -2a x + 3b x^{2}.

Passo 3

Para a parte (b) invocamos conservação da energia mecânica, que diz
E = T + U = \tfrac12\,m\,v^{2} + U(x) = \text{constante}.
No instante inicial x=0 e v=v_{0}, temos
E = \tfrac12\,m\,v_{0}^{2} + U(0) = \tfrac12\,m\,v_{0}^{2},
pois U(0)=0. Para que a partícula fique confinada ela não pode alcançar valores de x onde U(x) ultrapasse E. Em particular, se E for menor que o valor máximo de U(x), ela ficará presa entre dois pontos de inversão.

Passo 4

Vamos achar o ponto crítico de U(x) resolvendo
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}=2a x -3b x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,(2a -3b x)=0
que dá x=0 e
x_{m}=\frac{2a}{3b}.
Para distinguir máximos e mínimos notamos que
\frac{\mathrm{d}^{2}U}{\mathrm{d}x^{2}}=2a -6b x
é negativa em x=x_{m}, logo x_{m} é ponto de máximo de U.

Passo 5

Calculamos o valor máximo
U_{\max}=U\bigl(x_{m}\bigr) = a\Bigl(\frac{2a}{3b}\Bigr)^{2} - b\Bigl(\frac{2a}{3b}\Bigr)^{3} = \frac{4a^{3}}{9b^{2}} \;-\;\frac{8a^{3}}{27b^{2}} = \frac{4a^{3}}{27b^{2}}.
Para que a partícula não consiga ultrapassar esse ponto basta ter
E=\tfrac12\,m\,v_{0}^{2}<U_{\max} =\frac{4a^{3}}{27b^{2}}.
Definindo v_{c} pela igualdade
\tfrac12\,m\,v_{c}^{2} =\frac{4a^{3}}{27b^{2}},
temos
v_{c}^{2} =\frac{8\,a^{3}}{27\,b^{2}\,m}.
Logo, se \lvert v_{0}\rvert<v_{c}, a partícula ficará confinada perto da origem.

Resposta

a) F(x)=-2a x+3b x^{2}.
b) v_{c}^{2}=\dfrac{8\,a^{3}}{27\,b^{2}\,m}.

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