. (Symon 2.21) Uma partícula de massa
acha-se sob a ação de uma força cuja energia potencial é
a). Determine a força.
b). A partícula parte da origem
com velocidade
. Mostre que, se
, onde
é uma certa velocidade critíca, a partícula permanecerá confinada à região próxima da origem. Determine
.
resposta: a)
; b)
b). A partícula parte da origem
Passo 1
O enunciado nos dá a energia potencial
para uma partícula de massa
. Na parte (a) precisamos obter a força associada a esse potencial, usando a relação clássica
. Na parte (b) a partícula sai de
com velocidade inicial
e devemos mostrar que, se
for menor que uma certa velocidade crítica
, ela não escapa da região em torno de
. Para isso vamos usar conservação da energia mecânica e analisar o ponto de máximo de
.
Passo 2
Para encontrar a força usamos
Como
segue-se
Passo 3
Para a parte (b) invocamos conservação da energia mecânica, que diz
No instante inicial
e
, temos
pois
. Para que a partícula fique confinada ela não pode alcançar valores de
onde
ultrapasse
. Em particular, se
for menor que o valor máximo de
, ela ficará presa entre dois pontos de inversão.
Passo 4
Vamos achar o ponto crítico de
resolvendo
que dá
e
Para distinguir máximos e mínimos notamos que
é negativa em
, logo
é ponto de máximo de
.
Passo 5
Calculamos o valor máximo
Para que a partícula não consiga ultrapassar esse ponto basta ter
Definindo
pela igualdade
temos
Logo, se
, a partícula ficará confinada perto da origem.
Resposta
a)
b)
b)