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Uma partícula de massa
move-se com velocidade
na direção de outra partícula de massa
, que está parada.
- Calcule a velocidade do centro de massa do sistema composto pelas duas partículas,
, no referencial em que a partícula de massa
está parada.
- Calcule a energia cinética total do sistema,
, no referencial em que o centro de massa do sistema está parado.
Escolha uma:
(B)
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A resposta correta é:
-
-
Uma partícula de massa
(B)
Passo 1
O enunciado dá duas partículas em uma linha: uma de massa
que se move com velocidade
na direção da outra, de massa
, que está parada. O referencial em que a partícula de massa
está parada é o referencial inicial. As perguntas são:
- Calcular a velocidade do centro de massa do sistema,
, nesse referencial. - Calcular a energia cinética total do sistema no referencial do centro de massa (ou seja,
, quando o centro de massa está parado).
Dados importantes extraídos do enunciado:
(massa da partícula que se move),
(massa da partícula inicialmente parada),
(velocidade inicial de
no referencial onde
está parada). Tudo ocorre em uma dimensão ao longo da mesma reta.
Passo 2
Definição útil (e simples): a velocidade do centro de massa é a razão entre o momento linear total e a massa total:
Aqui o momento de
é
e o momento de
é zero (pois
está parada). Substituindo:
Interpretação rápida: o centro de massa se move na mesma direção de
, com velocidade menor que
, proporcional à fração da massa móvel sobre a massa total.
Passo 3
Para calcular a energia cinética no referencial do centro de massa, precisamos das velocidades das partículas nesse referencial. Em mecânica clássica, a transformação de Galileu dá:
onde
é a velocidade de cada partícula no referencial do centro de massa. Assim:
Observe que os sinais mostram que, no referencial do CM, as partículas movem-se em sentidos opostos (esperado).
Passo 4
A energia cinética total no referencial do centro de massa é a soma das energias cinéticas relativas:
Substituindo as expressões de
e
do passo anterior:
Passo 5
Agora simplificamos a expressão por fatoração. Colocando o fator comum
:
No parêntese podemos fatorar
:
Substituindo de volta:
Pronto — expressão final simplificada.
Passo 6
Interpretação física e cheque rápido:
- Podemos definir a massa reduzida
. Então . Isso é intuitivo: no CM o problema reduz-se a uma partícula com massa movendo-se com a velocidade relativa inicial . - Limites: se
, então e (a partícula leve carrega quase toda a energia). Se , e . Faz sentido físico.