4
Uma partícula de massa m move-se com velocidade v na direção de outra partícula de massa M, que está parada.
  1. Calcule a velocidade do centro de massa do sistema composto pelas duas partículas, V_{\mathrm{cm}}, no referencial em que a partícula de massa M está parada.
  2. Calcule a energia cinética total do sistema, E_{\text {cin,cm }}, no referencial em que o centro de massa do sistema está parado.
Escolha uma:
(B)
  1. V_{\mathrm{cm}}=\frac{M v}{m+M}
  2. E_{\text {cin }, \mathrm{cm}}=\frac{1}{2}\left(\frac{m M}{m+M}\right) v^{2}
    \triangle
  3. V_{\mathrm{cm}}=\frac{m v}{m+M}
  4. E_{\text {cin, } \mathrm{cm}}=\frac{1}{2}\left(\frac{m^{2} v^{2}}{m+M}\right)
  5. V_{\mathrm{cm}}=v
  6. E_{\text {cin }, \mathrm{cm}}=\frac{1}{2}(m+M) v^{2}
  7. V_{\mathrm{cm}}=\frac{M v}{m+M}
  8. E_{\text {cin }, \mathrm{cm}}=\frac{1}{2}\left(\frac{M^{2} v^{2}}{m+M}\right)
  9. V_{\mathrm{cm}}=\frac{m v}{m+M}
  10. E_{\text {cin }, \mathrm{cm}}=\frac{1}{2}\left(\frac{m M}{m+M}\right) v^{2}
A resposta correta é:
  1. V_{\mathrm{cm}}=\frac{m v}{m+M}
  2. E_{\text {cin }, \mathrm{cm}}=\frac{1}{2}\left(\frac{m M}{m+M}\right) v^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas partículas em uma linha: uma de massa \,m que se move com velocidade \,v na direção da outra, de massa \,M, que está parada. O referencial em que a partícula de massa \,M está parada é o referencial inicial. As perguntas são:
  1. Calcular a velocidade do centro de massa do sistema, \,V_{\mathrm{cm}}, nesse referencial.
  2. Calcular a energia cinética total do sistema no referencial do centro de massa (ou seja, \,E_{\text{cin,cm}}, quando o centro de massa está parado).
Dados importantes extraídos do enunciado:
\;m (massa da partícula que se move), \;M (massa da partícula inicialmente parada), \;v (velocidade inicial de \,m no referencial onde \,M está parada). Tudo ocorre em uma dimensão ao longo da mesma reta.

Passo 2

Definição útil (e simples): a velocidade do centro de massa é a razão entre o momento linear total e a massa total:
V_{\mathrm{cm}}=\frac{p_{\text{total}}}{m+M}.
Aqui o momento de \,m é \,p_m=m v e o momento de \,M é zero (pois \,M está parada). Substituindo:
V_{\mathrm{cm}}=\frac{m v + M\cdot 0}{m+M}=\frac{m v}{m+M}.
Interpretação rápida: o centro de massa se move na mesma direção de \,m, com velocidade menor que \,v, proporcional à fração da massa móvel sobre a massa total.

Passo 3

Para calcular a energia cinética no referencial do centro de massa, precisamos das velocidades das partículas nesse referencial. Em mecânica clássica, a transformação de Galileu dá:
v'_{i}=v_{i}-V_{\mathrm{cm}},
onde v'_i é a velocidade de cada partícula no referencial do centro de massa. Assim:
v'_{m}=v-V_{\mathrm{cm}}=v-\frac{m v}{m+M}=\frac{(m+M)v-mv}{m+M}=\frac{M v}{m+M},
v'_{M}=0-V_{\mathrm{cm}}=-\frac{m v}{m+M}.
Observe que os sinais mostram que, no referencial do CM, as partículas movem-se em sentidos opostos (esperado).

Passo 4

A energia cinética total no referencial do centro de massa é a soma das energias cinéticas relativas:
E_{\text{cin,cm}}=\frac{1}{2}m\bigl(v'_{m}\bigr)^{2}+\frac{1}{2}M\bigl(v'_{M}\bigr)^{2}.
Substituindo as expressões de v'_{m} e v'_{M} do passo anterior:
E_{\text{cin,cm}}=\frac{1}{2}m\left(\frac{M v}{m+M}\right)^{2}+\frac{1}{2}M\left(\frac{m v}{m+M}\right)^{2}.

Passo 5

Agora simplificamos a expressão por fatoração. Colocando o fator comum \dfrac{1}{2}\dfrac{v^{2}}{(m+M)^{2}}:
E_{\text{cin,cm}}=\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{(m+M)^{2}}\bigl(mM^{2}+Mm^{2}\bigr).
No parêntese podemos fatorar mM:
mM^{2}+Mm^{2}=mM(M+m)=mM(m+M).
Substituindo de volta:
E_{\text{cin,cm}}=\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{(m+M)^{2}}\cdot mM(m+M)=\frac{1}{2}\frac{mM}{m+M}\,v^{2}.
Pronto — expressão final simplificada.

Passo 6

Interpretação física e cheque rápido:
  • Podemos definir a massa reduzida \displaystyle \mu=\frac{mM}{m+M}. Então \,E_{\text{cin,cm}}=\tfrac{1}{2}\mu v^{2}. Isso é intuitivo: no CM o problema reduz-se a uma partícula com massa \mu movendo-se com a velocidade relativa inicial v.
  • Limites: se m\ll M, então \mu\approx m e E_{\text{cin,cm}}\approx\tfrac{1}{2}m v^{2} (a partícula leve carrega quase toda a energia). Se m=M, \mu=m/2 e E_{\text{cin,cm}}=\tfrac{1}{4}m v^{2}. Faz sentido físico.

Resposta

V_{\mathrm{cm}}=\dfrac{m v}{m+M}\n
E_{\text{cin,cm}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{m M}{m+M}\right)v^{2}

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