Uma partícula de massa
está sobre um plano horizontal sem atrito e sujeita uma única força proporcional a sua posição e restauradora. (a) Estabeleça uma direção e uma origem e com ela desenhe esquematicamente o sistema e força que atua sobre partícula (b) Escreva a equação de movimento © A partir da equação obtida no item anterior e considerando como condições iniciais
e
, obtenha
. © Calcule a energia total do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo e entender qual matéria estamos trabalhando aqui. A gente tem uma partícula com massa
que está sobre um plano horizontal sem atrito. Ela está sendo puxada por uma força que é proporcional à sua posição e que age de forma restauradora (ou seja, tenta trazer a partícula de volta para a posição de equilíbrio). Isso está dentro do conceito de Movimento Harmônico Simples dentro da Dinâmica.
Pra resolver essa parada, vamos precisar:
- Estabelecer um sistema de coordenadas.
- Desenhar o esquema das forças.
- Aplicar a segunda lei de Newton para formular a equação de movimento.
- Resolver essa equação com as condições iniciais dadas.
- Calcular a energia total do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer uma direção e uma origem para facilitar nossos cálculos. Vamos escolher o eixo
como a direção horizontal e definir a origem (
) na posição de equilíbrio da partícula. Isso significa que qualquer deslocamento para a direita será positivo e para a esquerda será negativo.
Agora, vamos desenhar esquematicamente o sistema e a força que atua sobre a partícula:
- Imagine uma linha horizontal representando o eixo
. - A partícula está em algum ponto nessa linha.
- A força restauradora
atua na direção oposta ao deslocamento, tentando levar a partícula de volta para a origem.
Então, temos:
- Sistema de Coordenadas: Eixo
horizontal com origem em . - Força Restauradora:
, onde é a constante de proporcionalidade e é a posição da partícula.
Passo 3
Agora vamos escrever a equação de movimento usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
é igual ao produto da massa
pela aceleração
:
Substituindo a força restauradora na equação:
Onde
é a aceleração da partícula. Podemos rearranjar isso para obter a equação diferencial do movimento:
Essa é a equação diferencial do Movimento Harmônico Simples.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial que obtivemos:
Onde
é a frequência angular do sistema.
A solução geral dessa equação é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas:
e
, onde
é a velocidade.
Aplicando as condições iniciais:
-
Para
: -
Derivando
para encontrar : Aplicando: Portanto:
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a energia total do sistema. Em um sistema sem atrito, a energia total é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Energia Cinética:
Energia Potencial:
Como no Movimento Harmônico Simples a energia total permanece constante, podemos calcular usando as condições iniciais:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é:
E a energia total do sistema é: