Uma partícula de massa m está sobre um plano horizontal sem atrito e sujeita uma única força proporcional a sua posição e restauradora. (a) Estabeleça uma direção e uma origem e com ela desenhe esquematicamente o sistema e força que atua sobre partícula (b) Escreva a equação de movimento © A partir da equação obtida no item anterior e considerando como condições iniciais x(0)=x0 e v(0)=v0, obtenha x(t). © Calcule a energia total do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo e entender qual matéria estamos trabalhando aqui. A gente tem uma partícula com massa que está sobre um plano horizontal sem atrito. Ela está sendo puxada por uma força que é proporcional à sua posição e que age de forma restauradora (ou seja, tenta trazer a partícula de volta para a posição de equilíbrio). Isso está dentro do conceito de Movimento Harmônico Simples dentro da Dinâmica.
Pra resolver essa parada, vamos precisar:
  1. Estabelecer um sistema de coordenadas.
  2. Desenhar o esquema das forças.
  3. Aplicar a segunda lei de Newton para formular a equação de movimento.
  4. Resolver essa equação com as condições iniciais dadas.
  5. Calcular a energia total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer uma direção e uma origem para facilitar nossos cálculos. Vamos escolher o eixo como a direção horizontal e definir a origem ( ) na posição de equilíbrio da partícula. Isso significa que qualquer deslocamento para a direita será positivo e para a esquerda será negativo.
Agora, vamos desenhar esquematicamente o sistema e a força que atua sobre a partícula:
  • Imagine uma linha horizontal representando o eixo .
  • A partícula está em algum ponto nessa linha.
  • A força restauradora atua na direção oposta ao deslocamento, tentando levar a partícula de volta para a origem.
Então, temos:
  • Sistema de Coordenadas: Eixo horizontal com origem em .
  • Força Restauradora: , onde é a constante de proporcionalidade e é a posição da partícula.

Passo 3

Agora vamos escrever a equação de movimento usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante F = m a é igual ao produto da massa - k x = m d^2xdt^2 pela aceleração d^2xdt^2 + km x = 0 :
Substituindo a força restauradora na equação:
Onde é a aceleração da partícula. Podemos rearranjar isso para obter a equação diferencial do movimento:
Essa é a equação diferencial do Movimento Harmônico Simples.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial que obtivemos:
d^2xdt^2 + omega^2 x = 0
Onde x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) é a frequência angular do sistema.
A solução geral dessa equação é:
x(0) = A cos(0) + B sin(0) Rightarrow x0 = A
Aqui, v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t) e v(0) = -A omega sin(0) + B omega cos(0) Rightarrow v0 = B omega são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais fornecidas: B = v0omega = v0raizkm = v0 raizmk e x(t) = x0 cos(raizkm, t) + v0raizkm sin(raizkm, t) , onde é a velocidade.
Aplicando as condições iniciais:
  1. Para :
  2. Derivando para encontrar :
    Aplicando :
    Portanto:
Substituindo e na solução geral:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a energia total do sistema. Em um sistema sem atrito, a energia total é a soma da energia cinética Etotal = Ek + Ep e da energia potencial Ek = 12 m v^2 :
Ep = 12 k x^2
Energia Cinética:
Etotal = 12 m v0^2 + 12 k x0^2
Energia Potencial:
Como no Movimento Harmônico Simples a energia total permanece constante, podemos calcular usando as condições iniciais:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
x(t) = x0 cos(raizkm, t) + v0raizkm sin(raizkm, t)
E a energia total do sistema é:
Etotal = 12 m v0^2 + 12 k x0^2

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