(b) Um poço de potencial infinito esta definido entre x=-a e x=+b, com a. Qual é o valor esperado lang<= xrang<==barx para o estado fundamental. Encontre esse valor, fazendo uma análise qualitativa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um poço de potencial infinito que está definido entre e , onde . Nosso objetivo é encontrar o valor esperado para o estado fundamental desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de quantum mecânica, como função de onda e valores esperados. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um poço de potencial infinito. É uma região onde uma partícula está confinada entre dois pontos ( e ) e não pode existir fora desse intervalo porque a energia potencial é infinita lá fora. Dentro do poço, a energia potencial é zero.

Passo 3

No estado fundamental, que é o estado de menor energia da partícula, a função de onda tem a forma de meia onda, sem nenhum nó (ponto onde a função é zero dentro do intervalo). A função de onda precisa satisfazer as condições de contorno e devido às barreiras infinitas.

Passo 4

Para encontrar o valor esperado lang<= x rang<= = integral-a^+b psi^*(x) , x , psi(x) , dx , usamos a fórmula:
lang<= x rang<= = integral-a^+b psi(x) , x , psi(x) , dx
Aqui, é o complexo conjugado de , mas como estamos lidando com funções reais, podemos simplificar para:

Passo 5

No estado fundamental, a função de onda é simétrica se o poço for simétrico ( ). Porém, como , o poço é assimétrico, o que significa que a função de onda estará mais “espalhada” para o lado onde o poço é maior ( ).

Passo 6

Como , a região positiva ( ) é maior que a negativa ( ). Isso faz com que a função de onda tenha mais “peso” no lado positivo. Portanto, ao calcular , a contribuição maior do lado positivo fará com que o valor esperado seja positivo.

Passo 7

De forma qualitativa, sem precisar resolver a integral, podemos concluir que:
  • Se , então por simetria.
  • Se , então porque há mais espaço e, portanto, mais probabilidade da partícula estar no lado positivo.

Resposta

O valor esperado para o estado fundamental é positivo, indicando que a partícula está deslocada para o lado onde o poço é maior.

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