(b) Um poço de potencial infinito esta definido entre
e
, com
. Qual é o valor esperado
para o estado fundamental. Encontre esse valor, fazendo uma análise qualitativa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um poço de potencial infinito que está definido entre
e
, onde
. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado
para o estado fundamental desse sistema. Para isso, vamos precisar entender conceitos de quantum mecânica, como função de onda e valores esperados. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um poço de potencial infinito. É uma região onde uma partícula está confinada entre dois pontos (
e
) e não pode existir fora desse intervalo porque a energia potencial é infinita lá fora. Dentro do poço, a energia potencial é zero.
Passo 3
No estado fundamental, que é o estado de menor energia da partícula, a função de onda
tem a forma de meia onda, sem nenhum nó (ponto onde a função é zero dentro do intervalo). A função de onda precisa satisfazer as condições de contorno
e
devido às barreiras infinitas.
Passo 4
Para encontrar o valor esperado
, usamos a fórmula:
Aqui,
é o complexo conjugado de
, mas como estamos lidando com funções reais, podemos simplificar para:
Passo 5
No estado fundamental, a função de onda
é simétrica se o poço for simétrico (
). Porém, como
, o poço é assimétrico, o que significa que a função de onda estará mais “espalhada” para o lado onde o poço é maior (
).
Passo 6
Como
, a região positiva (
) é maior que a negativa (
). Isso faz com que a função de onda tenha mais “peso” no lado positivo. Portanto, ao calcular
, a contribuição maior do lado positivo fará com que o valor esperado
seja positivo.
Passo 7
De forma qualitativa, sem precisar resolver a integral, podemos concluir que:
- Se
, então por simetria. - Se
, então porque há mais espaço e, portanto, mais probabilidade da partícula estar no lado positivo.
Resposta
O valor esperado
para o estado fundamental é positivo, indicando que a partícula está deslocada para o lado
onde o poço é maior.