Joāo e Pedro sāo irmāos gêmeos e estāo brincando num carrossel. O carrossel é um disco homogêneo de raio R=1.0 m e massa M0. Cada criança tem massa M=40 kg e momento de inércia I=0.512 kg cdot m^2 em relaçāo ao eixo vertical que passa por seu centro de massa. Joāo e Pedro estāo em pé sobre o carrossel e suas distâncias ao eixo de giro sāo 20 cm e 80 cm respectivamente. O sistema gira com velocidade angular omega quando Pedro pula fora do carrossel que dobra sua velocidade angular. Quanto vale a massa M0 do carrossel?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos João e Pedro, que são irmãos gêmeos brincando num carrossel. O carrossel é representado como um disco homogêneo com raio e massa . Cada criança tem uma massa e um momento de inércia em relação ao eixo vertical que passa pelo centro de massa delas. João está a 20 cm do eixo de giro e Pedro a 80 cm. Quando Pedro pula fora, a velocidade angular do sistema dobra. Queremos descobrir qual é a massa do carrossel.
Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais longe a massa, maior o momento de inércia.
Para objetos compostos, o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia de cada parte.

Passo 3

Antes de Pedro pular, o momento de inércia total ( Iinicial = Icarrossel + IJoão + IPedro ) do sistema é a soma do momento de inércia do carrossel ( Icarrossel = 12 M0 R^2 ), de João ( IJoão = IPedro = 0,512 kg cdot m^2 ã) e de Pedro ( ):
ã
Sabemos que:
E os momentos de inércia de João e Pedro são dados na questão:
ã

Passo 4

Depois que Pedro pula, o momento de inércia final ( Ifinal = Icarrossel + IJoão ) é:
omegafinal = 2 omegainicial ã
A velocidade angular depois que Pedro pula ( ) é o dobro da inicial ( ):

Passo 5

Como não há torque externo agindo sobre o sistema, o momento angular é conservado. Portanto:
Iinicial cdot omegainicial = Ifinal cdot omegafinal
Substituindo Iinicial cdot omegainicial = Ifinal cdot 2 omegainicial por Iinicial = 2 Ifinal :
Podemos cancelar dos dois lados:

Passo 6

Substituindo os valores de Icarrossel + IJoão + IPedro = 2 (Icarrossel + IJoão) e 12 M0 R^2 + IJoão + IPedro = 2 ( 12 M0 R^2 + IJoão ) :
ãã
Agora, substituímos :
ãã

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
12 M0 R^2 + IJoão + IPedro = M0 R^2 + 2 IJoão ãã
Subtraindo IPedro = 12 M0 R^2 + IJoão ã de ambos os lados:
ã

Passo 8

Queremos encontrar 12 M0 R^2 = IPedro - IJoão :
M0 R^2 = 2 (IPedro - IJoão) ã
Multiplicando ambos os lados por 2:
M0 = 2 (IPedro - IJoão)R^2 ã
E isolando :
ã

Passo 9

Agora, substituímos os valores numéricos:
M0 = 2 (0,512 kg cdot m^2 - 0,512 kg cdot m^2)(1,0 m)^2
Mas percebemos que M0 = 0 kg ã, o que resultaria em:
Isso não faz sentido físico, então precisamos revisar nossas suposições.

Passo 10

Na verdade, quando consideramos o momento de inércia das crianças, devemos levar em conta a distância delas ao eixo de rotação. O momento de inércia de cada criança é dado por:
Icriança = M cdot d^2 ç
Onde IJoão = 40 kg cdot (0,20 m)^2 = 1,6 kg cdot m^2 é a distância ao eixo.
Para João ( IPedro = 40 kg cdot (0,80 m)^2 = 25,6 kg cdot m^2 ):
ã
Para Pedro ( ):

Passo 11

Agora, refazendo a equação no Passo 7 com os valores corretos:
12 M0 (1,0)^2 + 1,6 + 25,6 = 2 ( 12 M0 (1,0)^2 + 1,6 )
Simplificando:
12 M0 + 27,2 = M0 + 3,2
Subtraindo 27,2 = 12 M0 + 3,2 de ambos os lados:
24,0 = 12 M0
Subtraindo 3,2 de ambos os lados:
M0 = 48,0 kg
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

A massa do carrossel é de 48,0 kg.

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