Uma partícula de massa
, sujeita a uma força resistiva proporcional à velocidade,
, e uma força externa aplicada
, inicia o seu movimento com a condição inicial
. Determinar a sua velocidade
e esboçar o seu gráfico. As constantes
e
são positivas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- A partícula tem massa
e sofre uma força resistiva proporcional à velocidade (com ). - Há uma força externa aplicada
com
.
- Condição inicial:
. - Pedidos: determinar a velocidade
para e esboçar (descrever) o gráfico de .
Essas são todas as informações relevantes do enunciado; na próxima etapa vamos montar a equação diferencial que descreve o movimento.
Passo 2
Escrevendo a segunda lei de Newton para a componente de velocidade (unidimensional): a soma das forças é igual a
vezes a aceleração. Assim temos
Aqui:
-
é a velocidade que queremos, -
é a derivada temporal da velocidade (aceleração), -
é a força de resistência (oposta ao movimento), -
é a força externa dada no enunciado.
Passo 3
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem dividindo por
:
Substituindo a expressão de
temos
Passo 4
Explicação do método (integrating factor) de maneira bem didática:
- Para resolver
usamos o fator integrante . - Multiplicando a equação por
obtemos . - Depois integramos em
e aplicamos a condição inicial.
No nosso caso
(constante), então
Passo 5
Multiplicamos a equação por
. A equação vira
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
No lado direito o fator exponencial cancela com o
, portanto obtemos
Passo 6
Integramos ambos os lados de
a
. Usamos a condição inicial
:
O lado esquerdo dá
Como
temos simplesmente
. O lado direito é uma integral polinomial:
Logo
Passo 7
Isolando
obtemos a solução explícita:
Essa é a velocidade para todo
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 8
Forma adimensional e interpretação: é útil definir a variável adimensional
Substituindo
na expressão de
temos
Isso mostra que a forma temporal da curva depende apenas de
. O fator
ajusta a escala vertical (unidades de velocidade).
Passo 9
Comportamento para
e
(útil para o esboço):
- Para
(ou ) temos . Ou seja, começa em zero com comportamento quadrático em (aceleração inicial nula, mas velocidade cresce como ). - Para
(ou ) o termo exponencial domina e . Portanto a velocidade tende a zero no longo prazo.
Logo a velocidade parte de zero, sobe, atinge um máximo e depois decai exponencialmente para zero.
Passo 10
Encontrar o máximo de
(para desenhar o pico). Usamos a forma adimensional
, pois o máximo de
acontece no mesmo
que maximiza
.
Calculamos a derivada:
Calculamos a derivada:
As raízes de
são
e
.
é mínimo (vale zero), e
é o máximo relevante. Portanto
O valor máximo da velocidade é
Passo 11
Esboço qualitativo do gráfico (descrição que permite desenhar sem calculadora):
- Em
: . - Crescimento inicial:
cresce como para pequenos . - Pico: atinge o máximo em
com valor . - Depois do pico: decai para zero de forma exponencial (produto de polinômio por
garante decaimento exponencial). - Forma geral: uma campânula assimétrica — subida suave (polinomial) até o pico e decaimento exponencial mais rápido após o pico.
Se quiser desenhar: no eixo horizontal coloque
, marque
e
; no eixo vertical marque
e
. A curva sobe de
até esse ponto e depois cai para
quando
.
Resposta
Gráfico:
; cresce inicialmente como
, atinge máximo em
com valor
, e decai exponencialmente para
quando
.