Uma partícula de massa m, sujeita a uma força resistiva proporcional à velocidade, -b v, e uma força externa aplicada F(t)=\frac{F_{0} b}{m} t e^{-(b t / m)}, inicia o seu movimento com a condição inicial v(0)=0. Determinar a sua velocidade v(t) e esboçar o seu gráfico. As constantes b e F_{0} são positivas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • A partícula tem massa \,m\; e sofre uma força resistiva proporcional à velocidade \,-b\,v\; (com b>0).
  • Há uma força externa aplicada
F(t)=\frac{F_{0}\,b}{m}\;t\;e^{-(b t / m)},
com F_{0}>0.
  • Condição inicial: \,v(0)=0.
  • Pedidos: determinar a velocidade \,v(t)\, para t\ge0 e esboçar (descrever) o gráfico de \,v(t).
Essas são todas as informações relevantes do enunciado; na próxima etapa vamos montar a equação diferencial que descreve o movimento.

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton para a componente de velocidade (unidimensional): a soma das forças é igual a m vezes a aceleração. Assim temos
m\frac{dv}{dt} = -b\,v + F(t).
Aqui:
  • \,v(t)\, é a velocidade que queremos,
  • \frac{dv}{dt} é a derivada temporal da velocidade (aceleração),
  • -b\,v é a força de resistência (oposta ao movimento),
  • F(t) é a força externa dada no enunciado.

Passo 3

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem dividindo por m:
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\,v = \frac{F(t)}{m}.
Substituindo a expressão de F(t) temos
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}\,v = \frac{1}{m}\cdot\frac{F_{0}\,b}{m}\;t\;e^{-(b t / m)} = \frac{F_{0}\,b}{m^{2}}\;t\;e^{-(b t / m)}.

Passo 4

Explicação do método (integrating factor) de maneira bem didática:
  • Para resolver \frac{dv}{dt}+p(t)v=q(t) usamos o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos \frac{d}{dt}\big(\mu(t)v(t)\big)=\mu(t)q(t).
  • Depois integramos em t e aplicamos a condição inicial.
No nosso caso p(t)=\frac{b}{m} (constante), então
\mu(t)=e^{\int \frac{b}{m}\,dt}=e^{(b t / m)}.

Passo 5

Multiplicamos a equação por \mu(t)=e^{(b t / m)}. A equação vira
e^{(b t / m)}\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m}e^{(b t / m)}v = e^{(b t / m)}\cdot\frac{F_{0}\,b}{m^{2}}\;t\;e^{-(b t / m)}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big( e^{(b t / m)} v(t)\big).
No lado direito o fator exponencial cancela com o e^{-(b t / m)}, portanto obtemos
\frac{d}{dt}\big( e^{(b t / m)} v(t)\big) = \frac{F_{0}\,b}{m^{2}}\;t.

Passo 6

Integramos ambos os lados de 0 a t. Usamos a condição inicial \,v(0)=0:
\int_{0}^{t} \frac{d}{ds}\big( e^{(b s / m)} v(s)\big)\,ds = \int_{0}^{t} \frac{F_{0}\,b}{m^{2}}\,s\,ds.
O lado esquerdo dá
e^{(b t / m)} v(t) - e^{(b\cdot 0/m)} v(0) = e^{(b t / m)} v(t) - v(0).
Como v(0)=0 temos simplesmente e^{(b t / m)} v(t). O lado direito é uma integral polinomial:
\int_{0}^{t} \frac{F_{0}\,b}{m^{2}}\,s\,ds = \frac{F_{0}\,b}{m^{2}} \cdot \frac{t^{2}}{2}.
Logo
e^{(b t / m)} v(t) = \frac{F_{0}\,b}{m^{2}}\cdot\frac{t^{2}}{2}.

Passo 7

Isolando v(t) obtemos a solução explícita:
v(t) = \frac{F_{0}\,b}{2\,m^{2}}\,t^{2}\;e^{-(b t / m)}.
Essa é a velocidade para todo t\ge0 que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 8

Forma adimensional e interpretação: é útil definir a variável adimensional
x=\frac{b t}{m}.
Substituindo t=\frac{m}{b}x na expressão de v(t) temos
v(t) = \frac{F_{0}}{2\,b}\;x^{2}\;e^{-x}.
Isso mostra que a forma temporal da curva depende apenas de x. O fator \frac{F_{0}}{2\,b} ajusta a escala vertical (unidades de velocidade).

Passo 9

Comportamento para t\to 0 e t\to\infty (útil para o esboço):
  • Para t\to 0 (ou x\to 0) temos v(t)\approx \frac{F_{0}\,b}{2m^{2}}t^{2}. Ou seja, começa em zero com comportamento quadrático em t (aceleração inicial nula, mas velocidade cresce como t^{2}).
  • Para t\to\infty (ou x\to\infty) o termo exponencial domina e v(t)\to 0. Portanto a velocidade tende a zero no longo prazo.
Logo a velocidade parte de zero, sobe, atinge um máximo e depois decai exponencialmente para zero.

Passo 10

Encontrar o máximo de v(t) (para desenhar o pico). Usamos a forma adimensional f(x)=x^{2}e^{-x}, pois o máximo de v acontece no mesmo x que maximiza f.
Calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^{2}) = e^{-x}x(2-x).
As raízes de f'(x)=0 são x=0 e x=2. x=0 é mínimo (vale zero), e x=2 é o máximo relevante. Portanto
x_{\text{max}}=2 \quad\Rightarrow\quad t_{\text{max}}=\frac{m}{b}x_{\text{max}}=\frac{2m}{b}.
O valor máximo da velocidade é
v_{\text{max}} = v\!\left(t_{\text{max}}\right) = \frac{F_{0}}{2b}\;2^{2}e^{-2} = \frac{2F_{0}}{b}\;e^{-2}.

Passo 11

Esboço qualitativo do gráfico (descrição que permite desenhar sem calculadora):
  • Em t=0: v(0)=0.
  • Crescimento inicial: v(t) cresce como t^{2} para pequenos t.
  • Pico: atinge o máximo em t=\dfrac{2m}{b} com valor v_{\text{max}}=\dfrac{2F_{0}}{b}e^{-2}.
  • Depois do pico: decai para zero de forma exponencial (produto de polinômio por e^{-x} garante decaimento exponencial).
  • Forma geral: uma campânula assimétrica — subida suave (polinomial) até o pico e decaimento exponencial mais rápido após o pico.
Se quiser desenhar: no eixo horizontal coloque t, marque t=0 e t=2m/b; no eixo vertical marque v=0 e v_{\text{max}}=(2F_{0}/b)e^{-2}. A curva sobe de 0 até esse ponto e depois cai para 0 quando t\to\infty.

Resposta

v(t)=\frac{F_{0}\,b}{2\,m^{2}}\,t^{2}\;e^{-(b t / m)}
Gráfico: v(0)=0; cresce inicialmente como t^{2}, atinge máximo em t=\dfrac{2m}{b} com valor v_{\max}=\dfrac{2F_{0}}{b}e^{-2}, e decai exponencialmente para 0 quando t\to\infty.

Exercícios relacionados