Uma partícula de massa
é lançada para cima e atinge seu ponto de altura máxima, após isso, desce segundo e equação
onde
é o coeficiente de arrasto que depende da velocidade
e
é a aceleração gravitacional. Se
é o instante em que a partícula atinge a altura máxima, mostre que a velocidade de descida é
Estude o caso em que
. Mostre ainda que a posição da partícula em queda é dada por
Esboce os gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento durante a descida
informa que
é o instante em que a partícula atinge a altura máxima (portanto
e a posição nesse instante é
) e pede que mostremos explicitamente a velocidade
da descida, que estudemos o caso
e que obtenhamos a posição
durante a queda.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda): a equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que é separável — ou seja, dá para escrever todos os termos contendo
de um lado e
do outro e integrar. Para simplificar as constantes, defino as quantidades
Observe que
e que
não nos interessa diretamente, mas será útil reconhecer que
Também note que o equilíbrio terminal (quando
) satisfaz
, dando velocidades limite
; para a descida interessará a solução negativa
. Vamos separar as variáveis e integrar usando fórmulas básicas de integrais racionais e funções hiperbólicas (arctanh, tanh).
Passo 3
Separação de variáveis e integração para obter
.
Começo dividindo a equação por
:
Reescrevo isolando termos em
:
Factorizo
:
onde usei
. Agora é conveniente observar que, durante a descida imediata,
vai de
para valores negativos com
até aproximar-se de
; assim
. Para integrar de forma direta troco o sinal no denominador:
Usamos a primitiva conhecida
onde
é a função inversa da tangente hiperbólica. Aplicando isso:
Multiplicando por
obtemos
Mas
, logo
Agora aplico a condição inicial
: isso dá
, portanto
. Assim
Aplicando a função tangente hiperbólica dos dois lados (lembrando que
) obtemos
Portanto a velocidade da descida é
Voltando às definições de
e
:
que é exatamente a expressão pedida.
Passo 4
Estudo do caso
para
.
A propriedade da função hiperbólica é
quando
. Como
, para
temos
e então
Interpretação física curta: para tempos grandes a resistência quadrática equilibra o peso e a partícula atinge uma velocidade terminal de queda
.
Passo 5
Cálculo da posição
integrando
.
Sabemos que
. Usamos a expressão encontrada e integramos com a condição
:
Faço a mudança de variável
, então
e
. Os limites: quando
tem
; quando
tem
. Assim
Usamos a primitiva
. Logo
Como
, temos
Agora simplifico o quociente
:
Portanto a posição é
que é a fórmula pedida.
Passo 6
Estudo do comportamento de
quando
.
Para
temos
. Tomando
,
ou seja
Mas
. Então, para
,
o que mostra que a posição decresce praticamente de forma linear para grandes tempos, com inclinação igual à velocidade terminal
. Em particular
quando
(a partícula continua caindo indefinidamente sem atingir um limite espacial finito).
Passo 7
Esboço qualitativo dos gráficos (descrição para desenhar rápido):
-
Gráfico de
: para a partícula subiu; no instante temos . Para a curva entra em valores negativos, decrescendo de em direção a de forma monótona e assintótica. O formato lembra uma tangente hiperbólica invertida: começa em e aproxima-se suavemente de . -
Gráfico de
: em temos o máximo . Para a função diminui, com concavidade negativa (segunda derivada while ainda se aproxima de ), e para tempos grandes aproxima-se de uma linha reta com declive . Portanto o gráfico sai do máximo e desce; a taxa de descida estabiliza para uma inclinação constante negativa à medida que .