Uma partícula de massa m é lançada para cima e atinge seu ponto de altura máxima, após isso, desce segundo e equação
m \frac{d v}{d t}=b v^{2}-m g
onde b é o coeficiente de arrasto que depende da velocidade v e g é a aceleração gravitacional. Se T é o instante em que a partícula atinge a altura máxima, mostre que a velocidade de descida é
v(t)=-\sqrt{\frac{m g}{b}} \operatorname{tanh} \left[\sqrt{\frac{b g}{m}}(t-T)\right]
Estude o caso em que t \rightarrow \infty. Mostre ainda que a posição da partícula em queda é dada por
x(t)=h_{\max }-\frac{m}{b} \ln \operatorname{cosh} \left[\sqrt{\frac{b g}{m}}(t-T)\right] .
Esboce os gráficos de v(t) e x(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento durante a descida
m\frac{dv}{dt}=b v^{2}-m g,
informa que T é o instante em que a partícula atinge a altura máxima (portanto \,v(T)=0 e a posição nesse instante é x(T)=h_{\max}) e pede que mostremos explicitamente a velocidade v(t) da descida, que estudemos o caso t\to\infty e que obtenhamos a posição x(t) durante a queda.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Equação:}\quad m\frac{dv}{dt}=b v^{2}-m g,\\\ &\text{Condição no instante do máximo:}\quad v(T)=0,\quad x(T)=h_{\max},\\\ &\text{Constantes:}\; m>0,\; b>0,\; g>0. \end{aligned}çãçãá

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda): a equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que é separável — ou seja, dá para escrever todos os termos contendo v de um lado e t do outro e integrar. Para simplificar as constantes, defino as quantidades
A=\sqrt{\frac{m g}{b}}\quad\text{e}\quad \alpha=\sqrt{\frac{b g}{m}}.
Observe que A>0 e que \alpha A=\sqrt{\dfrac{b g}{m}}\sqrt{\dfrac{m g}{b}}=g não nos interessa diretamente, mas será útil reconhecer que
\frac{m}{b}\cdot\frac{1}{A}=\frac{m}{b}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{m g}{b}}}=\frac{m}{b}\cdot\sqrt{\frac{b}{m g}}=\sqrt{\frac{m}{b g}}.
Também note que o equilíbrio terminal (quando dv/dt=0) satisfaz b v^{2}-m g=0, dando velocidades limite \pm A; para a descida interessará a solução negativa -A. Vamos separar as variáveis e integrar usando fórmulas básicas de integrais racionais e funções hiperbólicas (arctanh, tanh).

Passo 3

Separação de variáveis e integração para obter v(t).
Começo dividindo a equação por m:
\frac{dv}{dt}=\frac{b}{m}v^{2}-g.
Reescrevo isolando termos em v:
\frac{dv}{\frac{b}{m}v^{2}-g}=dt.
Factorizo \frac{b}{m}:
\frac{dv}{\frac{b}{m}\bigl(v^{2}-\frac{m g}{b}\bigr)}=dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{m}{b}\frac{dv}{v^{2}-A^{2}}=dt,
onde usei A^{2}=\dfrac{m g}{b}. Agora é conveniente observar que, durante a descida imediata, v vai de 0 para valores negativos com |v|<A até aproximar-se de -A; assim v^{2}-A^{2}<0. Para integrar de forma direta troco o sinal no denominador:
\frac{m}{b}\left(-\frac{dv}{A^{2}-v^{2}}\right)=dt \quad\Longrightarrow\quad -\frac{m}{b}\int\frac{dv}{A^{2}-v^{2}}=\int dt.
Usamos a primitiva conhecida
\int\frac{du}{A^{2}-u^{2}}=\frac{1}{A}\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{u}{A}\right)+C,
onde \operatorname{arctanh} é a função inversa da tangente hiperbólica. Aplicando isso:
-\frac{m}{b}\cdot\frac{1}{A}\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{A}\right)=t+C_{1}.
Multiplicando por -\dfrac{b}{m}A obtemos
\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{A}\right)=-\frac{bA}{m}\,(t+C_{1}).
Mas \dfrac{bA}{m}=\sqrt{\dfrac{b g}{m}}=\alpha, logo
\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{A}\right)=-\alpha (t+C_{1}).
Agora aplico a condição inicial v(T)=0: isso dá \operatorname{arctanh}(0)=-\alpha(T+C_{1})\Rightarrow 0=-\alpha(T+C_{1}), portanto C_{1}=-T. Assim
\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{A}\right)=-\alpha (t-T).
Aplicando a função tangente hiperbólica dos dois lados (lembrando que \operatorname{tanh}(\operatorname{arctanh}(z))=z) obtemos
\frac{v}{A}=\operatorname{tanh}\!\bigl(-\alpha (t-T)\bigr)=-\operatorname{tanh}\!\bigl(\alpha (t-T)\bigr).
Portanto a velocidade da descida é
v(t)=-A\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\alpha (t-T)\bigr).
Voltando às definições de A e \alpha:
v(t)=-\sqrt{\frac{m g}{b}}\;\operatorname{tanh}\!\left[\sqrt{\frac{b g}{m}}(t-T)\right],
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 4

Estudo do caso t\to\infty para v(t).
A propriedade da função hiperbólica é \operatorname{tanh}(u)\to 1 quando u\to+\infty. Como \alpha>0, para t\to\infty temos \alpha(t-T)\to+\infty e então
\lim_{t\to\infty}v(t)=-A\cdot 1=-\sqrt{\frac{m g}{b}}.
Interpretação física curta: para tempos grandes a resistência quadrática equilibra o peso e a partícula atinge uma velocidade terminal de queda -\sqrt{m g/b}.

Passo 5

Cálculo da posição x(t) integrando v(t).
Sabemos que dx/dt=v(t). Usamos a expressão encontrada e integramos com a condição x(T)=h_{\max}:
x(t)=h_{\max}+\int_{T}^{t} v(s)\,ds = h_{\max}-A\int_{T}^{t}\operatorname{tanh}\!\bigl(\alpha (s-T)\bigr)\,ds.
Faço a mudança de variável u=\alpha(s-T), então du=\alpha\,ds e ds=du/\alpha. Os limites: quando s=T tem u=0; quando s=t tem u=\alpha(t-T). Assim
x(t)=h_{\max}-\frac{A}{\alpha}\int_{0}^{\alpha(t-T)}\operatorname{tanh}(u)\,du.
Usamos a primitiva \int\operatorname{tanh}(u)\,du=\ln\operatorname{cosh}(u)+C. Logo
x(t)=h_{\max}-\frac{A}{\alpha}\Bigl[\ln\operatorname{cosh}\bigl(\alpha(t-T)\bigr)-\ln\operatorname{cosh}(0)\Bigr].
Como \ln\operatorname{cosh}(0)=\ln 1=0, temos
x(t)=h_{\max}-\frac{A}{\alpha}\ln\operatorname{cosh}\!\bigl(\alpha(t-T)\bigr).
Agora simplifico o quociente A/\alpha:
\frac{A}{\alpha}=\frac{\sqrt{\frac{m g}{b}}}{\sqrt{\frac{b g}{m}}}=\frac{m}{b}.
Portanto a posição é
x(t)=h_{\max}-\frac{m}{b}\ln\operatorname{cosh}\!\left[\sqrt{\frac{b g}{m}}(t-T)\right],
que é a fórmula pedida.

Passo 6

Estudo do comportamento de x(t) quando t\to\infty.
Para u\to\infty temos \ln\operatorname{cosh} u=\,u-\ln 2+o(1). Tomando u=\alpha(t-T),
x(t)=h_{\max}-\frac{m}{b}\bigl(\alpha(t-T)-\ln 2+\cdots\bigr)
ou seja
x(t)\sim h_{\max}-\left(\frac{m}{b}\alpha\right)(t-T)+\frac{m}{b}\ln 2.
Mas \dfrac{m}{b}\alpha=A=\sqrt{\dfrac{m g}{b}}. Então, para t\to\infty,
x(t)\sim h_{\max}-\sqrt{\frac{m g}{b}}(t-T)+\frac{m}{b}\ln 2,
o que mostra que a posição decresce praticamente de forma linear para grandes tempos, com inclinação igual à velocidade terminal -\sqrt{m g/b}. Em particular x(t)\to -\infty quando t\to\infty (a partícula continua caindo indefinidamente sem atingir um limite espacial finito).

Passo 7

Esboço qualitativo dos gráficos (descrição para desenhar rápido):
  • Gráfico de v(t): para t<T a partícula subiu; no instante t=T temos v(T)=0. Para t>T a curva entra em valores negativos, decrescendo de 0 em direção a -A de forma monótona e assintótica. O formato lembra uma tangente hiperbólica invertida: começa em 0 e aproxima-se suavemente de -\sqrt{m g/b}.
  • Gráfico de x(t): em t=T temos o máximo x=h_{\max}. Para t>T a função diminui, com concavidade negativa (segunda derivada d^{2}x/dt^{2}=dv/dt<0 while v ainda se aproxima de -A), e para tempos grandes aproxima-se de uma linha reta com declive -\sqrt{m g/b}. Portanto o gráfico sai do máximo e desce; a taxa de descida estabiliza para uma inclinação constante negativa à medida que t\to\infty.

Resposta

v(t)=-\sqrt{\frac{m g}{b}}\;\operatorname{tanh}\!\left[\sqrt{\frac{b g}{m}}(t-T)\right]
\lim_{t\to\infty}v(t)=-\sqrt{\frac{m g}{b}}
x(t)=h_{\max}-\frac{m}{b}\ln\operatorname{cosh}\!\left[\sqrt{\frac{b g}{m}}(t-T)\right]
x(t)\sim h_{\max}-\sqrt{\frac{m g}{b}}\,(t-T)+\frac{m}{b}\ln 2\quad\text{quando }t\to\infty

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