Uma partícula de massa m sujeita a uma força de restauração linear, -kx, e a uma força resistiva proporcional à velocidade, -bv, inicia seu movimento na origem com uma velocidade v0. Determine x(t) para os casos de amortecimento supercrítico, crítico e subcrítico. Esboce gráficos concernentes ao movimento para cada caso. Discutir os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ que está sob a ação de duas forças: uma força de restauração linear $ -kx $ e uma força resistiva proporcional à velocidade $ -bv $. Ela começa na origem com uma velocidade inicial $ v_0 $. Nosso objetivo é determinar a posição $ x(t) $ dessa partícula ao longo do tempo para três casos diferentes de amortecimento: supercrítico, crítico e subcrítico. Para resolver isso, vamos usar a teoria de movimentos harmônicos amortecidos, que envolve resolver equações diferenciais e analisar o discriminante para identificar o tipo de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação do movimento. Segundo a segunda lei de Newton, a força total $ F $ sobre a partícula é igual a massa vezes a aceleração:
F
Aqui, a aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{d2x}{dt2} $. As forças atuantes são $ -kx $ e $ -bv $, onde $ v = \frac{dx}{dt} $. Então, a equação fica:
F = m cdot a

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
d^2xdt^2 + bm dxdt + km x = 0
Aqui, identificamos os coeficientes:
omega0^2 = km e 2gamma = bm
Onde $ \omega_0 $ é a frequência natural não amortecida e $ \gamma $ é a taxa de amortecimento.

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos considerar a solução característica da forma $ x(t) = e^{rt} $. Substituindo na equação, obtemos:
x(t) = e^rt
Essa é uma equação quadrática em $ r $, cuja solução depende do discriminante $ \Delta $:
r^2 + bm r + km = 0
O tipo de raízes (reais e distintas, reais e iguais, ou complexas) nos indicará o tipo de amortecimento.

Passo 5

Agora, vamos analisar os três casos de amortecimento:
  1. Amortecimento Supercrítico ($ \Delta > 0 $):
    • As raízes são reais e distintas.
    • A solução geral é: De 0
    • Usamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
  2. Amortecimento Crítico ($ \Delta = 0 $):
    • As raízes são reais e iguais.
    • A solução geral é: x(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
  3. Amortecimento Subcrítico ($ \Delta < 0 $):
    • As raízes são complexas.
    • A solução geral é: C1
    • Onde $ \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. As condições são:
C1
  1. Supercrítico:
    • Substituindo $ t = 0 $: C2
    • E derivando a solução geral e substituindo $ t = 0 $: x(0) = 0 e dxdtg|t=0 = v0
    • Resolvendo o sistema, encontramos $ C_1 $ e $ C_2 $.
  2. Crítico:
    • Substituindo $ t = 0 $: t = 0
    • Derivando a solução geral e substituindo $ t = 0 $: 0 = C1 + C2
    • Encontramos $ C_2 = v_0 $.
  3. Subcrítico:
    • Substituindo $ t = 0 $: t = 0
    • Derivando a solução geral e substituindo $ t = 0 $: v0 = C1 r1 + C2 r2
    • Encontramos $ C_2 = \frac{v_0}{\omega} $.

Passo 7

Agora, substituímos as constantes de volta nas soluções gerais para cada caso:
  1. Supercrítico:
    x(t) = v0r2 - r1 ( e^r1 t - e^r2 t )
  2. Crítico:
    x(t) = v0 t e^- gamma t
  3. Subcrítico:
    x(t) = e^- gamma t ( v0omega sin(omega t) )

Resposta

A posição $ x(t) $ da partícula ao longo do tempo é dada por:
  1. Amortecimento Supercrítico:
    x(t)
    Onde $ r_1 $ e $ r_2 $ são as raízes da equação característica.
  2. Amortecimento Crítico:
    x(t) = v0r2 - r1 ( e^r1 t - e^r2 t )
  3. Amortecimento Subcrítico:
    r1
Essas soluções mostram como a posição da partícula varia com o tempo dependendo do tipo de amortecimento presente no sistema.

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