Uma partícula de massa
sujeita a uma força de restauração linear,
, e a uma força resistiva proporcional à velocidade,
, inicia seu movimento na origem com uma velocidade
. Determine
para os casos de amortecimento supercrítico, crítico e subcrítico. Esboce gráficos concernentes ao movimento para cada caso. Discutir os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ que está sob a ação de duas forças: uma força de restauração linear $ -kx $ e uma força resistiva proporcional à velocidade $ -bv $. Ela começa na origem com uma velocidade inicial $ v_0 $. Nosso objetivo é determinar a posição $ x(t) $ dessa partícula ao longo do tempo para três casos diferentes de amortecimento: supercrítico, crítico e subcrítico. Para resolver isso, vamos usar a teoria de movimentos harmônicos amortecidos, que envolve resolver equações diferenciais e analisar o discriminante para identificar o tipo de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação do movimento. Segundo a segunda lei de Newton, a força total $ F $ sobre a partícula é igual a massa vezes a aceleração:
Aqui, a aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, $ a = \frac{d2x}{dt2} $. As forças atuantes são $ -kx $ e $ -bv $, onde $ v = \frac{dx}{dt} $. Então, a equação fica:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Aqui, identificamos os coeficientes:
Onde $ \omega_0 $ é a frequência natural não amortecida e $ \gamma $ é a taxa de amortecimento.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos considerar a solução característica da forma $ x(t) = e^{rt} $. Substituindo na equação, obtemos:
Essa é uma equação quadrática em $ r $, cuja solução depende do discriminante $ \Delta $:
O tipo de raízes (reais e distintas, reais e iguais, ou complexas) nos indicará o tipo de amortecimento.
Passo 5
Agora, vamos analisar os três casos de amortecimento:
-
Amortecimento Supercrítico ($ \Delta > 0 $):
- As raízes são reais e distintas.
- A solução geral é:
- Usamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
-
Amortecimento Crítico ($ \Delta = 0 $):
- As raízes são reais e iguais.
- A solução geral é:
-
Amortecimento Subcrítico ($ \Delta < 0 $):
- As raízes são complexas.
- A solução geral é:
- Onde $ \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $. As condições são:
-
Supercrítico:
- Substituindo $ t = 0 $:
C2 - E derivando a solução geral e substituindo $ t = 0 $:
x(0) = 0 e dxdtg|t=0 = v0 - Resolvendo o sistema, encontramos $ C_1 $ e $ C_2 $.
- Substituindo $ t = 0 $:
-
Crítico:
- Substituindo $ t = 0 $:
t = 0 - Derivando a solução geral e substituindo $ t = 0 $:
0 = C1 + C2 - Encontramos $ C_2 = v_0 $.
- Substituindo $ t = 0 $:
-
Subcrítico:
- Substituindo $ t = 0 $:
t = 0 - Derivando a solução geral e substituindo $ t = 0 $:
v0 = C1 r1 + C2 r2 - Encontramos $ C_2 = \frac{v_0}{\omega} $.
- Substituindo $ t = 0 $:
Passo 7
Agora, substituímos as constantes de volta nas soluções gerais para cada caso:
-
Supercrítico:
x(t) = v0r2 - r1 ( e^r1 t - e^r2 t ) -
Crítico:
x(t) = v0 t e^- gamma t -
Subcrítico:
x(t) = e^- gamma t ( v0omega sin(omega t) )
Resposta
A posição $ x(t) $ da partícula ao longo do tempo é dada por:
-
Amortecimento Supercrítico:
x(t) Onde $ r_1 $ e $ r_2 $ são as raízes da equação característica. -
Amortecimento Crítico:
x(t) = v0r2 - r1 ( e^r1 t - e^r2 t ) -
Amortecimento Subcrítico:
r1
Essas soluções mostram como a posição da partícula varia com o tempo dependendo do tipo de amortecimento presente no sistema.