Uma partícula se move sob a influência de uma força central dirigida para uma origem fixa
. Explique por que o momento angular da partícula em torno de
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está se movendo sob a influência de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para uma origem fixa chamada
. O assunto aqui é momentum angular, e a gente vai precisar entender o que é esse momentum angular e como ele se comporta quando a força é central.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o momento angular. Para uma partícula, ele é dado por:
Aqui,
é o momento angular,
é o vetor posição da partícula em relação ao ponto
, e
é o momento linear, que é massa vezes velocidade (
).
Passo 3
Agora, queremos saber por que esse momento angular
é constante quando a força é central. Para isso, vamos olhar para a variação do momento angular no tempo, ou seja, a derivada de
em relação ao tempo:
Mas
, então
, onde
é a força aplicada.
Passo 4
A primeira parte da derivada,
, é zero porque
está na mesma direção que
, então o produto vetorial dá zero. Então sobra:
Passo 5
Como a força é central, ela sempre aponta na direção de
. Ou seja,
é paralela a
. Quando dois vetores são paralelos, o produto vetorial entre eles é zero:
Passo 6
Então, temos que:
Isso significa que o momento angular
não está mudando com o tempo, ou seja, ele é constante.
Resposta
O momento angular da partícula em torno de
permanece constante porque a força central não gera torque, fazendo com que
seja constante ao longo do tempo.