Problema 3 Cinco cargas q ocupam os vértices de uma pirâmide regular de base quadrada de lado a. Sua altura também é igual a a. Considerando q=1,0 Ce a=1,0 m, qual a força que atua sobre a carga do vértice oposto à base?

Passo 1

Beleza, a gente tem uma pirâmide de base quadrada de lado e altura também . Em cada vértice (são 5 no total) tem uma carga . O que o enunciado pede é a força resultante que age na carga do vértice “de cima” (o oposto à base), sabendo que e .
Conteúdo envolvido: eletrostática, Lei de Coulomb e decomposição vetorial usando simetria.

Passo 2

Primeiro a gente escolhe um sistema de coordenadas pra facilitar:
  • Coloca a base no plano , com os quatro vértices em .
  • A carga sobre a qual vamos achar a força (o “ápice”) fica em .
    A distância de cada carga da base até o ápice é igual, então a gente vai explorar essa simetria.

Passo 3

Pega a Lei de Coulomb pra força entre duas cargas pontuais:
F = k,q1,q2r^2,
onde r = raizl(tfraca2r)^2 + l(tfraca2r)^2 + a^2 = a,raiztfrac14+tfrac14+1 = a,raiztfrac32 = araiz62 e aqui F1 = k,q^2r^2 = k,q^2l(tfracaraiz62r)^2 = k,q^2tfrac6a^24 = 4k,q^26,a^2 = 2k,q^23,a^2 .
A distância entre e é
Então a intensidade da força de uma carga da base sobre o ápice é

Passo 4

Agora a gente separa essa força em componente vertical (eixo costheta = De) e horizontal. Pelo desenho, cada uma tem uma inclinação em relação ao eixo F1z = F1costheta = 2kq^23a^2,2raiz6 = 4kq^23raiz6,a^2 . O cosseno do ângulo entre e o eixo é
Logo a componente vertical (módulo) de uma única força é
E todas as quatro forças têm a mesma componente para baixo, enquanto as componentes horizontais se cancelam por simetria.

Passo 5

Somando as 4 componentes verticais a força total no ápice é
Fz = 4,F1z = 4,4kq^23raiz6,a^2 = 16,k,q^23raiz6,a^2
Ela aponta para baixo (ou seja, sentido negativo de ).

Resposta

boxedvec F = -16,k,q^23raiz6,a^2,hat z
Substituindo F approx 1,96times10^10 N , e , dá
para baixo.

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