Problema 3 Cinco cargas
ocupam os vértices de uma pirâmide regular de base quadrada de lado
. Sua altura também é igual a
. Considerando
, qual a força que atua sobre a carga do vértice oposto à base?
Passo 1
Beleza, a gente tem uma pirâmide de base quadrada de lado
e altura também
. Em cada vértice (são 5 no total) tem uma carga
. O que o enunciado pede é a força resultante que age na carga do vértice “de cima” (o oposto à base), sabendo que
e
.
Conteúdo envolvido: eletrostática, Lei de Coulomb e decomposição vetorial usando simetria.
Conteúdo envolvido: eletrostática, Lei de Coulomb e decomposição vetorial usando simetria.
Passo 2
Primeiro a gente escolhe um sistema de coordenadas pra facilitar:
- Coloca a base no plano
, com os quatro vértices em . - A carga sobre a qual vamos achar a força (o “ápice”) fica em
.
A distância de cada carga da base até o ápice é igual, então a gente vai explorar essa simetria.
Passo 3
Pega a Lei de Coulomb pra força entre duas cargas pontuais:
onde
e aqui
.
A distância entre
e
é
A distância
Então a intensidade da força de uma carga da base sobre o ápice é
Passo 4
Agora a gente separa essa força em componente vertical (eixo
) e horizontal. Pelo desenho, cada uma tem uma inclinação em relação ao eixo
. O cosseno do ângulo
entre
e o eixo
é
Logo a componente vertical (módulo) de uma única força é
E todas as quatro forças têm a mesma componente
para baixo, enquanto as componentes horizontais se cancelam por simetria.
Passo 5
Somando as 4 componentes verticais a força total no ápice é
Ela aponta para baixo (ou seja, sentido negativo de
).
Resposta
Substituindo
,
e
, dá
para baixo.