Uma partícula de massa m , velocidade v , e energia E=\frac{1}{2} m v^{2} move-se ao longo do eixo dos x .
Sua posição é incerta por uma grandeza \Delta \mathrm{x}. Dada a relação de incerteza de Heisenberg,
\Delta p_{x} \cdot \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}
Mostrar que
\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma consequência delas:
  • Uma partícula de massa \,m, velocidade \,v e energia \,E=\frac{1}{2} m v^{2} move-se ao longo do eixo x.
  • A posição da partícula é incerta por uma grandeza \,\Delta x.
  • A relação de incerteza fornecida é
\Delta p_{x}\cdot\Delta x \geq \frac{\hbar}{2}.
O que o enunciado pede: mostrar que vale a desigualdade
\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}.

Passo 2

Escrevemos a energia em função do momento linear. Para a partícula dada temos a relação entre momento e velocidade:
p_x = m v.
Substituindo em E=\frac{1}{2}mv^{2} obtemos a energia em função de p_x:
E(p_x)=\frac{p_x^{2}}{2m}.
Aqui eu usei apenas álgebra básica: substituir v=p_x/m em E.

Passo 3

Vamos ligar a incerteza em energia \Delta E à incerteza em momento \Delta p_x. Quando uma grandeza E depende de outra p de forma suave, uma aproximação útil para pequenas incertezas é a aproximação linear (primeiro termo da expansão de Taylor):
\Delta E \approx \left|\frac{dE}{dp_x}\right|\Delta p_x.
Explico isso com calma: pense em E(p_x+\delta p)\approx E(p_x)+\frac{dE}{dp_x}\delta p. A variação típica \Delta E é então do tamanho de \frac{dE}{dp_x}\Delta p_x. Essa é a regra de propagação de incertezas na primeira ordem — válida quando \Delta p_x não é enorme.

Passo 4

Calcule a derivada \dfrac{dE}{dp_x} usando E(p_x)=\dfrac{p_x^2}{2m}:
\frac{dE}{dp_x}=\frac{p_x}{m}.
Mas \dfrac{p_x}{m}=v. Portanto, usando a aproximação do passo anterior,
\Delta E \approx v\,\Delta p_x.

Passo 5

Agora precisamos ligar um \Delta t apropriado a \Delta x. Se a posição estiver incerta em \Delta x e a partícula se move com velocidade típica v, o tempo característico para atravessar a região de incerteza é
\Delta t \approx \frac{\Delta x}{v}.
Raciocínio: distância dividida por velocidade dá tempo. Esse \Delta t representa a incerteza temporal associada ao intervalo em que a partícula ocupa a zona \Delta x.

Passo 6

Multiplicamos as aproximações para \Delta E e \Delta t:
\Delta E\cdot\Delta t \approx (v\,\Delta p_x)\left(\frac{\Delta x}{v}\right)=\Delta p_x\cdot\Delta x.
Usando a desigualdade de Heisenberg dada no enunciado,
\Delta p_x\cdot\Delta x \geq \frac{\hbar}{2},
concluímos que
\Delta E\cdot\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2}.
Como trabalhámos com aproximações de primeira ordem (que preservam a ordem de magnitude e tornam-se desigualdades ao considerar casos rigorosos), escrevemos a forma final como desigualdade:
\Delta E\cdot\Delta t \geq \frac{\hbar}{2}.

Passo 7

Comentário rápido de interpretação (para não te deixar inseguro): aqui \Delta t não é operador (o tempo aparece como parâmetro), por isso a dedução é heurística — padrão em muitos exercícios: definimos \Delta t como o intervalo temporal relacionado à incerteza espacial \Delta x. A derivação que fiz é a forma direta e prática que aparece em provas para conectar \Delta p_x\Delta x com \Delta E\Delta t.

Resposta

\Delta E \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}

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