Uma partícula de massa m move-se num plano horizontal, com sua posição dada por \vec{r}=r_{0} e^{-b_{r} t} \hat{r} e \theta(t)=\theta_{0} e^{b_{\theta} t}\left(b_{\theta}>0, b_{r}>0, r_{0}>0\right. e \left.\theta_{0}>0\right). (a) calcule \vec{v}(t) em coordenadas polares. (b) Se a força atuando na partícula fosse radial (centrípeta), qual seria a relação entre b_{\theta} e b_{r} ?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que foi dado):
  • A posição da partícula em coordenadas polares é dada por \vec{r}(t)=r_{0} e^{-b_{r} t}\,\hat{r}.
  • O ângulo é \theta(t)=\theta_{0} e^{b_{\theta} t}, com b_{\theta}>0,\;b_{r}>0,\;r_{0}>0,\;\theta_{0}>0.
  • Perguntas:
    (a) Calcular \vec{v}(t) em coordenadas polares.
    (b) Se a força atuando na partícula fosse puramente radial (centrípeta), qual a relação entre b_{\theta} e b_{r}?

Passo 2

Relembrando e demonstrando a regra útil para derivar vetores unitários polares (definição e por que ela vale):
  • Escrevemos os versores polares em termos de coordenadas cartesianas: \hat{r}=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \hat{\theta}=(-\sin\theta,\cos\theta).
  • Derivando em relação ao tempo (usando regra da cadeia \dfrac{d}{dt}\cos\theta=-\sin\theta\,\dot{\theta}, etc.): \frac{d\hat{r}}{dt} = (-\sin\theta,\cos\theta)\,\dot{\theta}=\dot{\theta}\,\hat{\theta},
\frac{d\hat{\theta}}{dt} = (-\cos\theta,-\sin\theta)\,\dot{\theta}=-\dot{\theta}\,\hat{r}.
  • Essas fórmulas são padrão e dizem que os versores giram com velocidade angular \dot{\theta}.

Passo 3

Calcular as derivadas temporais de r(t) e \theta(t) — passo a passo com regras elementares:
  • A função radial é r(t)=r_{0} e^{-b_{r} t}. Aplicando derivada: \dot{r}(t) = \frac{d}{dt}\big(r_{0} e^{-b_{r} t}\big) = -b_{r} r_{0} e^{-b_{r} t} = -b_{r}\,r(t).
  • A função angular é \theta(t)=\theta_{0} e^{b_{\theta} t}. Aplicando derivada: \dot{\theta}(t) = \frac{d}{dt}\big(\theta_{0} e^{b_{\theta} t}\big) = b_{\theta}\,\theta_{0} e^{b_{\theta} t} = b_{\theta}\,\theta(t).

Passo 4

Construir a velocidade em coordenadas polares (aplicar regra do produto e a relação dos versores):
  • Fórmula direta (resultado da regra do produto e das derivadas dos versores): \vec{v}=\dot{r}\,\hat{r}+r\,\dot{\theta}\,\hat{\theta}.Explicação curta: a derivada de \vec r = r\hat r \dot r \hat r + r \dot{\hat r}, e \dot{\hat r}=\dot\theta\hat\theta, daí a fórmula.
  • Substituindo \dot r, r e \dot\theta que calculamos: \vec{v}(t) = \big(-b_{r} r_{0} e^{-b_{r} t}\big)\,\hat{r} + \big(r_{0} e^{-b_{r} t}\big)\big(b_{\theta}\,\theta_{0} e^{b_{\theta} t}\big)\,\hat{\theta}.
  • Podemos simplificar o segundo termo juntando exponenciais: \vec{v}(t) = -b_{r} r_{0} e^{-b_{r} t}\,\hat{r} + r_{0} b_{\theta}\theta_{0} e^{-(b_{r}-b_{\theta})t}\,\hat{\theta}.

Passo 5

Calcular a aceleração em coordenadas polares (para poder exigir que a componente tangencial seja zero) — derivação e fórmula:
  • Derivando \vec v=\dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta e usando as derivadas dos versores obtemos a fórmula padrão: \vec{a} = \big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\big)\,\hat{r} + \big(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}\big)\,\hat{\theta}.Explicação breve: aplica-se derivada em cada termo e substitui \dot{\hat r}=\dot\theta\hat\theta e \dot{\hat\theta}=-\dot\theta\hat r; os termos que envolvem \dot\theta^{2} aparecem naturalmente.

Passo 6

Aplicar as expressões específicas de r(t) e \theta(t) na componente transversal (tangencial) da aceleração e impor que seja zero (força puramente radial):
  • Primeiro calcule \ddot{r} e \ddot{\theta}: \ddot{r}(t)=\frac{d}{dt}(-b_{r} r_{0} e^{-b_{r} t}) = b_{r}^{2} r_{0} e^{-b_{r} t} = b_{r}^{2}\,r(t).
\ddot{\theta}(t)=\frac{d}{dt}\big(b_{\theta}\theta_{0} e^{b_{\theta} t}\big)=b_{\theta}^{2}\theta_{0} e^{b_{\theta} t}=b_{\theta}^{2}\,\theta(t).
  • Agora a componente tangencial é a_{\theta}=r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}.Substituindo: a_{\theta}=r\big(b_{\theta}^{2}\theta\big)+2\big(-b_{r}r\big)\big(b_{\theta}\theta\big).Agrupando fatores r\theta: a_{\theta}=r\theta\big(b_{\theta}^{2}-2b_{r}b_{\theta}\big)=r\theta\,b_{\theta}\big(b_{\theta}-2b_{r}\big).
  • Condição de força puramente radial: a componente tangencial da aceleração deve ser zero, ou seja a_{\theta}=0. Como r>0, \theta>0 e b_{\theta}>0 pelos dados do enunciado, podemos dividir por r\theta b_{\theta} sem problemas e obter: b_{\theta}-2b_{r}=0 \quad\Rightarrow\quad b_{\theta}=2b_{r}.Interpretação física curta: a taxa de crescimento exponencial do ângulo deve ser duas vezes a taxa de decaimento exponencial do raio para que não haja componente tangencial da aceleração.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t) = -b_{r} r_{0} e^{-b_{r} t}\,\hat{r} + r_{0} b_{\theta}\theta_{0} e^{-(b_{r}-b_{\theta})t}\,\hat{\theta}.
(b) \displaystyle b_{\theta}=2b_{r}.

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