Uma partícula de massa
move-se num plano horizontal, com sua posição dada por
e
e
. (a) calcule
em coordenadas polares. (b) Se a força atuando na partícula fosse radial (centrípeta), qual seria a relação entre
e
?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que foi dado):
- A posição da partícula em coordenadas polares é dada por
. - O ângulo é
, com . - Perguntas:
(a) Calcularem coordenadas polares.
(b) Se a força atuando na partícula fosse puramente radial (centrípeta), qual a relação entree ?
Passo 2
Relembrando e demonstrando a regra útil para derivar vetores unitários polares (definição e por que ela vale):
- Escrevemos os versores polares em termos de coordenadas cartesianas:
- Derivando em relação ao tempo (usando regra da cadeia
, etc.):
- Essas fórmulas são padrão e dizem que os versores giram com velocidade angular
.
Passo 3
Calcular as derivadas temporais de
e
— passo a passo com regras elementares:
- A função radial é
. Aplicando derivada: - A função angular é
. Aplicando derivada:
Passo 4
Construir a velocidade em coordenadas polares (aplicar regra do produto e a relação dos versores):
- Fórmula direta (resultado da regra do produto e das derivadas dos versores):
Explicação curta: a derivada de dá , e , daí a fórmula. - Substituindo
, e que calculamos: - Podemos simplificar o segundo termo juntando exponenciais:
Passo 5
Calcular a aceleração em coordenadas polares (para poder exigir que a componente tangencial seja zero) — derivação e fórmula:
- Derivando
e usando as derivadas dos versores obtemos a fórmula padrão: Explicação breve: aplica-se derivada em cada termo e substitui e ; os termos que envolvem aparecem naturalmente.
Passo 6
Aplicar as expressões específicas de
e
na componente transversal (tangencial) da aceleração e impor que seja zero (força puramente radial):
- Primeiro calcule
e :
- Agora a componente tangencial é
Substituindo: Agrupando fatores : - Condição de força puramente radial: a componente tangencial da aceleração deve ser zero, ou seja
. Como , e pelos dados do enunciado, podemos dividir por sem problemas e obter: Interpretação física curta: a taxa de crescimento exponencial do ângulo deve ser duas vezes a taxa de decaimento exponencial do raio para que não haja componente tangencial da aceleração.
Resposta
(a)
(b)