Uma partícula de massa m move-se sobre a ação da força:
\vec{F}(t)=\left(\frac{F_{0} b}{m} e^{-\frac{b}{m} t}\right) \hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{m}\right) \hat{\jmath}
Determine \vec{r}(t), \vec{v}(t) e \vec{a}(t), considerando \vec{v}(0)=\overrightarrow{0} e \vec{r}(0)=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a força dependente do tempo
\vec{F}(t)=\left(\frac{F_{0} b}{m} e^{-\frac{b}{m} t}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{m}\right)\hat{\jmath}.
  • Constantes conhecidas: F_{0}, b e m.
  • Condições iniciais fornecidas: \vec{v}(0)=\overrightarrow{0} e \vec{r}(0)=\overrightarrow{0}.
  • O que precisamos encontrar: \vec{r}(t), \vec{v}(t) e \vec{a}(t) para todo t\ge0.

Passo 2

Relações básicas que vamos usar (explicação didática):
  • A aceleração é a derivada da velocidade: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}.
  • A velocidade é a derivada da posição: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
  • A relação entre força e aceleração (Newton) é
m\,\vec{a}(t)=\vec{F}(t).
Aqui m é a massa da partícula (constante) e \vec{a}(t) é a aceleração. Isso significa que, para obter \vec{a}(t), dividimos \vec{F}(t) por m. Depois integramos \vec{a}(t) para obter \vec{v}(t) e integramos \vec{v}(t) para obter \vec{r}(t). Ao integrar, usamos as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 3

Calcular \vec{a}(t) dividindo \vec{F}(t) por m:
\vec{a}(t)=\frac{\vec{F}(t)}{m} =\left(\frac{F_{0} b}{m^2} e^{-\frac{b}{m} t}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{m^2}\right)\hat{\jmath}.
Comentário: cada componente da força foi dividida por m. Note que a componente x é uma exponencial decrescente e a componente y é constante no tempo.

Passo 4

Integrar a componente x de \vec{a}(t) para obter v_x(t). Primeiro escrevo a componente:
a_x(t)=\frac{F_{0} b}{m^2} e^{-\frac{b}{m} t}.
Integrando em t:
v_x(t)=\int a_x(t)\,dt =\int \frac{F_{0} b}{m^2} e^{-\frac{b}{m} t}\,dt.
Para integrar uma exponencial do tipo e^{-\alpha t} usamos \int e^{-\alpha t}\,dt = -\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t} + C. Aqui \alpha=\frac{b}{m}. Logo
v_x(t)=\frac{F_{0} b}{m^2}\left(-\frac{m}{b} e^{-\frac{b}{m} t}\right)+C_x = -\frac{F_{0}}{m} e^{-\frac{b}{m} t}+C_x.
Usando a condição inicial v_x(0)=0:
0 = -\frac{F_{0}}{m}\cdot 1 + C_x \Rightarrow C_x=\frac{F_{0}}{m}.
Portanto
v_x(t)=\frac{F_{0}}{m}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big).
Explicação rápida: a velocidade em x parte de zero e tende para \dfrac{F_{0}}{m} quando t\to\infty, porque a aceleração em x cai exponencialmente.

Passo 5

Integrar a componente y de \vec{a}(t) para obter v_y(t). Temos
a_y(t)=\frac{F_{0} b}{m^2},
que é constante. A integral de uma constante é linear:
v_y(t)=\int a_y(t)\,dt=\frac{F_{0} b}{m^2}t + C_y.
Usando v_y(0)=0 resulta C_y=0. Então
v_y(t)=\frac{F_{0} b}{m^2}t.

Passo 6

Colocar \vec{v}(t) em forma vetorial e comentar:
\vec{v}(t)=\frac{F_{0}}{m}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big)\hat{\imath}+\frac{F_{0} b}{m^2}t\,\hat{\jmath}.
Comentário: primeiro componente tende a constante, segunda cresce linearmente por causa da aceleração constante em y.

Passo 7

Integrar \vec{v}(t) para obter \vec{r}(t). Primeiro a componente x:
r_x(t)=\int v_x(t)\,dt=\int \frac{F_{0}}{m}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big)dt.
Integramos termo a termo:
\int 1\,dt = t,\qquad \int e^{-\frac{b}{m} t}\,dt = -\frac{m}{b} e^{-\frac{b}{m} t}.
Logo
r_x(t)=\frac{F_{0}}{m}\left(t + \frac{m}{b} e^{-\frac{b}{m} t}\right)+C'_x.
Aplicando r_x(0)=0:
0=\frac{F_{0}}{m}\left(0 + \frac{m}{b}\cdot 1\right)+C'_x \Rightarrow C'_x=-\frac{F_{0}}{b}.
Substituindo:
r_x(t)=\frac{F_{0}}{m}t+\frac{F_{0}}{b}e^{-\frac{b}{m} t}-\frac{F_{0}}{b}.
Podemos organizar de forma mais compacta:
r_x(t)=\frac{F_{0}}{m}t-\frac{F_{0}}{b}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big).

Passo 8

Agora a componente y: integrar v_y(t)=\dfrac{F_{0} b}{m^2}t:
r_y(t)=\int v_y(t)\,dt=\int \frac{F_{0} b}{m^2}t\,dt =\frac{F_{0} b}{m^2}\cdot\frac{t^2}{2}+C'_y.
Usando r_y(0)=0 C'_y=0. Então
r_y(t)=\frac{F_{0} b}{2 m^2}t^2.

Passo 9

Escrever as três grandezas em forma vetorial e fazer uma checagem rápida em t=0:
  • Aceleração:
\vec{a}(t)=\left(\frac{F_{0} b}{m^2} e^{-\frac{b}{m} t}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{m^2}\right)\hat{\jmath}.
  • Velocidade:
\vec{v}(t)=\left(\frac{F_{0}}{m}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big)\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{m^2}t\right)\hat{\jmath}.
  • Posição:
\vec{r}(t)=\left(\frac{F_{0}}{m}t-\frac{F_{0}}{b}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big)\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{2 m^2}t^2\right)\hat{\jmath}.
Verificação em t=0: \vec{v}(0)=\vec{0} e \vec{r}(0)=\vec{0} como pedido. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(t)=\left(\frac{F_{0}}{m}t-\frac{F_{0}}{b}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big)\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{2 m^2}t^2\right)\hat{\jmath}\n
\displaystyle \vec{v}(t)=\left(\frac{F_{0}}{m}\Big(1-e^{-\frac{b}{m} t}\Big)\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{m^2}t\right)\hat{\jmath}\n
\displaystyle \vec{a}(t)=\left(\frac{F_{0} b}{m^2} e^{-\frac{b}{m} t}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{F_{0} b}{m^2}\right)\hat{\jmath}

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