Uma partícula de massa
move-se sobre a ação da força:
Determine
e
, considerando
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a força dependente do tempo
- Constantes conhecidas:
, e . - Condições iniciais fornecidas:
e . - O que precisamos encontrar:
, e para todo .
Passo 2
Relações básicas que vamos usar (explicação didática):
- A aceleração é a derivada da velocidade:
. - A velocidade é a derivada da posição:
. - A relação entre força e aceleração (Newton) é
Aqui
é a massa da partícula (constante) e
é a aceleração. Isso significa que, para obter
, dividimos
por
. Depois integramos
para obter
e integramos
para obter
. Ao integrar, usamos as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 3
Calcular
dividindo
por
:
Comentário: cada componente da força foi dividida por
. Note que a componente
é uma exponencial decrescente e a componente
é constante no tempo.
Passo 4
Integrar a componente
de
para obter
. Primeiro escrevo a componente:
Integrando em
:
Para integrar uma exponencial do tipo
usamos
. Aqui
. Logo
Usando a condição inicial
:
Portanto
Explicação rápida: a velocidade em
parte de zero e tende para
quando
, porque a aceleração em
cai exponencialmente.
Passo 5
Integrar a componente
de
para obter
. Temos
que é constante. A integral de uma constante é linear:
Usando
resulta
. Então
Passo 6
Colocar
em forma vetorial e comentar:
Comentário: primeiro componente tende a constante, segunda cresce linearmente por causa da aceleração constante em
.
Passo 7
Integrar
para obter
. Primeiro a componente
:
Integramos termo a termo:
Logo
Aplicando
:
Substituindo:
Podemos organizar de forma mais compacta:
Passo 8
Agora a componente
: integrar
:
Usando
dá
. Então
Passo 9
Escrever as três grandezas em forma vetorial e fazer uma checagem rápida em
:
- Aceleração:
- Velocidade:
- Posição:
Verificação em
:
e
como pedido. Tudo consistente.