Uma partícula move-se no eixo x , em movimento retilíneo. Sua aceleração é dada por
. Obtenha as expressões gerais para (a) a velocidade e (b) a posição da partícula. Determine os instantes de tempo em que: (c) o módulo da velocidade é máximo e (d) o sentido de movimento da partícula se altera, considerando
.
Passo 1
O enunciado dá a aceleração da partícula ao longo do tempo:
Também é informado que
. O que nos pedem:
(a) achar a expressão geral da velocidade ;
(b) achar a expressão geral da posição (a constante de posição inicial não foi dada, então ficará como constante arbitrária);
(c) determinar os instantes em que o módulo da velocidade é máximo;
(d) determinar os instantes em que o sentido (direção) do movimento se altera.
Todas as informações relevantes foram listadas acima: a fórmula de e a condição inicial
. A solução começa integrando porque aceleração é derivada da velocidade e velocidade é derivada da posição.
(a) achar a expressão geral da velocidade
(b) achar a expressão geral da posição
(c) determinar os instantes em que o módulo da velocidade é máximo;
(d) determinar os instantes em que o sentido (direção) do movimento se altera.
Todas as informações relevantes foram listadas acima: a fórmula de
Passo 2
Relação fundamental e integração para obter
.
Aceleração é a derivada da velocidade:
Para obter
integramos
. Vou relembrar rapidamente a regra básica de integração que vamos usar: para um monômio
com
,
Aplicando a integração a
temos
Calculando termo a termo:
Assim a primitiva geral é
onde
é a constante de integração. Agora usamos a condição inicial
:
Portanto
e temos a expressão final da velocidade:
Observação didática: sempre que integrar, coloque a constante e use condições iniciais para determiná-la. Aqui foi simples porque
foi dado.
Passo 3
Integração para obter
.
Velocidade é derivada da posição:
Integramos
para obter
:
Usando a regra
obtemos
Portanto
onde
é a constante de integração que representa a posição inicial
. Para ficar explícito, podemos escrever
e então
Passo 4
Quando o módulo da velocidade
é máximo?
Estratégia: máximos de
ocorrem quando a derivada de
se anula (ou nas bordas do intervalo de interesse). Para funções diferenciáveis com
, vale
onde
é o sinal de
. Assim pontos críticos de
(com
) satisfazem
. Também devemos checar pontos onde
(aqui
normalmente é mínimo).
Primeiro calculemos as raízes de
:
Também calculamos as raízes de
(úteis para analisar o sinal de
):
portanto
Agora focamos no caso físico típico e mais simples:
e
, e tempo
. (Se
ou
tiverem outro sinal, a análise muda e as fórmulas de raízes acima ainda valem, mas o comportamento de máximos/minimos será diferente; aqui adotamos
porque é o caso padrão no enunciado implícito.)
Para
e
:
- Em
a avaliação direta mostra (porque o termo domina para pequenos ), então nessa região e
Anular essa derivada dá
. Esse
pertence ao intervalo
, logo é um candidato interior. Verificamos a segunda derivada de
nesse ponto (para confirmar máximo):
Em
e com
temos
, portanto é um máximo local de
. Como
sai de
em
, cresce até esse ponto e depois decresce até anular em
, concluímos que esse é o máximo global (para
). Assim, para
e
,
Simetricamente existe também o máximo em
se considerarmos
negativos.
Passo 5
Quando o sentido do movimento se altera?
O sentido do movimento muda quando a velocidade muda de sinal, i.e., quando
e há troca de sinal. Já achamos as raízes de
:
A raiz não-nula em
é onde a velocidade efetivamente muda de sinal (para
: para
temos
e para
temos
, logo há inversão do sentido em
). O ponto
é uma raiz inicial dada; tipicamente o instante relevante de mudança de sentido no futuro é
(e também
no passado, se for do interesse).
Portanto, para
e
, o sentido do movimento se altera em
Resposta
(a)
(b) , sendo
.
(c) Para (e
):
(também
se considerar
).
(d) O sentido se altera quando não-trivialmente, ou seja
; para
e
o instante relevante é
.
(b)
(c) Para
(d) O sentido se altera quando