Uma partícula move-se no eixo x , em movimento retilíneo. Sua aceleração é dada por a(t)=b t^{2}-c. Obtenha as expressões gerais para (a) a velocidade e (b) a posição da partícula. Determine os instantes de tempo em que: (c) o módulo da velocidade é máximo e (d) o sentido de movimento da partícula se altera, considerando v(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração da partícula ao longo do tempo:
a(t)=b\,t^{2}-c.
Também é informado que \,v(0)=0. O que nos pedem:
(a) achar a expressão geral da velocidade v(t);
(b) achar a expressão geral da posição x(t) (a constante de posição inicial não foi dada, então ficará como constante arbitrária);
(c) determinar os instantes em que o módulo da velocidade é máximo;
(d) determinar os instantes em que o sentido (direção) do movimento se altera.
Todas as informações relevantes foram listadas acima: a fórmula de a(t) e a condição inicial \,v(0)=0. A solução começa integrando porque aceleração é derivada da velocidade e velocidade é derivada da posição.

Passo 2

Relação fundamental e integração para obter v(t).
Aceleração é a derivada da velocidade:
a(t)=v'(t).
Para obter v(t) integramos a(t). Vou relembrar rapidamente a regra básica de integração que vamos usar: para um monômio \,t^{n} com n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando a integração a a(t)=b\,t^{2}-c temos
v(t)=\int (b\,t^{2}-c)\,dt=\int b\,t^{2}\,dt-\int c\,dt.
Calculando termo a termo:
\int b\,t^{2}\,dt = b\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{b}{3}t^{3}, \qquad \int c\,dt = c\,t.
Assim a primitiva geral é
v(t)=\frac{b}{3}t^{3}-c\,t + C,
onde C é a constante de integração. Agora usamos a condição inicial \,v(0)=0:
v(0)=\frac{b}{3}\cdot 0^{3}-c\cdot 0 + C = C = 0.
Portanto C=0 e temos a expressão final da velocidade:
v(t)=\frac{b}{3}t^{3}-c\,t.
Observação didática: sempre que integrar, coloque a constante e use condições iniciais para determiná-la. Aqui foi simples porque v(0) foi dado.

Passo 3

Integração para obter x(t).
Velocidade é derivada da posição:
v(t)=x'(t).
Integramos v(t)=\frac{b}{3}t^{3}-c\,t para obter x(t):
x(t)=\int \left(\frac{b}{3}t^{3}-c\,t\right)\,dt =\frac{b}{3}\int t^{3}\,dt - c\int t\,dt.
Usando a regra \int t^{n}dt=\frac{t^{n+1}}{n+1} obtemos
\int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4},\qquad \int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
Portanto
x(t)=\frac{b}{3}\cdot\frac{t^{4}}{4} - c\cdot\frac{t^{2}}{2} + D =\frac{b}{12}t^{4}-\frac{c}{2}t^{2}+D,
onde D é a constante de integração que representa a posição inicial x(0)=D. Para ficar explícito, podemos escrever x(0)=x_{0} e então
x(t)=\frac{b}{12}t^{4}-\frac{c}{2}t^{2}+x_{0}.

Passo 4

Quando o módulo da velocidade |v(t)| é máximo?
Estratégia: máximos de |v| ocorrem quando a derivada de |v| se anula (ou nas bordas do intervalo de interesse). Para funções diferenciáveis com v(t)\neq 0, vale
\frac{d}{dt}|v(t)|=\operatorname{sgn}(v(t))\,v'(t)=\operatorname{sgn}(v(t))\,a(t),
onde \operatorname{sgn}(v) é o sinal de v. Assim pontos críticos de |v| (com v\neq0) satisfazem a(t)=0. Também devemos checar pontos onde v(t)=0 (aqui |v|=0 normalmente é mínimo).
Primeiro calculemos as raízes de a(t):
a(t)=b\,t^{2}-c=0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{c}{b}\quad\Rightarrow\quad t=\pm\sqrt{\frac{c}{b}}.
Também calculamos as raízes de v(t) (úteis para analisar o sinal de v):
v(t)=\frac{b}{3}t^{3}-c\,t = t\left(\frac{b}{3}t^{2}-c\right)=0
portanto
t=0 \quad\text{ou}\quad \frac{b}{3}t^{2}-c=0 \Rightarrow t^{2}=\frac{3c}{b}\Rightarrow t=\pm\sqrt{\frac{3c}{b}}.
Agora focamos no caso físico típico e mais simples: b>0 e c>0, e tempo \,t\ge 0. (Se b ou c tiverem outro sinal, a análise muda e as fórmulas de raízes acima ainda valem, mas o comportamento de máximos/minimos será diferente; aqui adotamos b>0,c>0 porque é o caso padrão no enunciado implícito.)
Para b>0,c>0 e t>0:
  • Em 0<t<\sqrt{3c/b} a avaliação direta mostra v(t)<0 (porque o termo -c t domina para pequenos t), então |v|=-v nessa região e
\frac{d}{dt}|v|=-v'=-a=c-bt^{2}.
Anular essa derivada dá c-bt^{2}=0\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{c}{b}}. Esse t pertence ao intervalo (0,\sqrt{3c/b}), logo é um candidato interior. Verificamos a segunda derivada de |v| nesse ponto (para confirmar máximo):
\frac{d^{2}}{dt^{2}}|v|=-a'=-2b t.
Em t=\sqrt{c/b}>0 e com b>0 temos \frac{d^{2}}{dt^{2}}|v|<0, portanto é um máximo local de |v|. Como |v| sai de 0 em t=0, cresce até esse ponto e depois decresce até anular em t=\sqrt{3c/b}, concluímos que esse é o máximo global (para t\ge0). Assim, para b>0,c>0 e t\ge0,
\text{o módulo da velocidade é máximo em } t=\sqrt{\frac{c}{b}}.óéá
Simetricamente existe também o máximo em t=-\sqrt{c/b} se considerarmos t negativos.

Passo 5

Quando o sentido do movimento se altera?
O sentido do movimento muda quando a velocidade muda de sinal, i.e., quando v(t)=0 e há troca de sinal. Já achamos as raízes de v(t):
v(t)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0,\\ \pm\sqrt{\frac{3c}{b}}.
A raiz não-nula em t=\pm\sqrt{3c/b} é onde a velocidade efetivamente muda de sinal (para b>0,c>0: para 0<t<\sqrt{3c/b} temos v<0 e para t>\sqrt{3c/b} temos v>0, logo há inversão do sentido em t=\sqrt{3c/b}). O ponto t=0 é uma raiz inicial dada; tipicamente o instante relevante de mudança de sentido no futuro é t=\sqrt{3c/b} (e também t=-\sqrt{3c/b} no passado, se for do interesse).
Portanto, para b>0,c>0 e t\ge0, o sentido do movimento se altera em
t=\sqrt{\frac{3c}{b}}.

Resposta

(a) v(t)=\dfrac{b}{3}t^{3}-c\,t.
(b) x(t)=\dfrac{b}{12}t^{4}-\dfrac{c}{2}t^{2}+x_{0}, sendo x_{0}=x(0).
(c) Para b>0,c>0 (e t\ge0): t=\sqrt{\dfrac{c}{b}} (também t=-\sqrt{\dfrac{c}{b}} se considerar t<0).
(d) O sentido se altera quando v(t)=0 não-trivialmente, ou seja t=\pm\sqrt{\dfrac{3c}{b}}; para b>0,c>0 e t\ge0 o instante relevante é t=\sqrt{\dfrac{3c}{b}}.

Exercícios relacionados