4.

Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central F(r)=-Kr^2+alphar^3, onde K é uma constante positiva e alpha é uma constante pequena. Considere o caso do movimento confinado com L^2>m alpha, sendo L o momento angular da partícula.
a) Mostre que a trajetória é dada por uma equação do tipo a que representa uma elipse que precessiona. Dê as expressões de varepsilon, de beta e de m, K, L em termos de alpha, E e alpha>0.
b) Determine o sentido da precessão para alpha<0 e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula sob a influência de uma força central que depende de $ r $. A matéria principal aqui é Mecânica Clássica, mais especificamente, movimento sob força central. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como força central, momento angular, e como pequenas perturbações afetam a trajetória da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a força central dada:
F(r) = -Kr^2 + alphar^3
Aqui, $ K $ é uma constante positiva e $ \alpha $ é uma constante pequena. A força tem duas partes: uma que se comporta como a força gravitacional ou Coulombiana ($ -\frac{K}{r^2} K çã \frac{\alpha}{r^3} $).

Passo 3

Para estudar a trajetória, usamos a segunda lei de Newton na forma radial. Sabemos que para movimento central, a equação é:
m(d^2rdt^2 - r(dthetadt)^2) = F(r)
Mas é mais prático usar a equação de movimento para $ u = \frac{1}{r} $, onde $ u $ é função de $ \theta $. Com uma mudança de variável, a equação se torna:
u = 1r
Aqui, $ L $ é o momento angular da partícula, que é constante para movimento central.

Passo 4

Vamos substituir a força $ F® $ na equação. Primeiro, reescrevemos $ F® $ em termos de $ u $:
F(r)
Substituindo na equação de $ u $:
F(r)

Passo 5

Simplificando a equação:
d^2udtheta^2 + u = KmL^2 - alphamL^2 u
Podemos reescrever isso como:
d^2udtheta^2 + (1 + alphamL^2) u = KmL^2
Vamos chamar $ \beta^{2} = 1 + \frac{\alpha}{mL^{2}} $, então:
beta^2 = 1 + alphamL^2

Passo 6

A solução da equação diferencial homogênea associada é:
u(theta) = C cos(beta theta) + D sin(beta theta) + KmL^2beta^2
Como a trajetória é fechada, podemos assumir que a solução é do tipo:
u(theta) = 1a(1 - varepsilon^2) (1 + varepsilon cos(beta theta))
Comparando com a solução geral, identificamos que:
a = mL^2beta^2K, varepsilon = excentricidade, beta = raiz1 + alphamL^2

Passo 7

Agora, vamos ajustar as expressões para $ a $, $ \varepsilon $ e $ \beta $:
a
Para $ \varepsilon $, considerando pequenas perturbações, a excentricidade pode ser ligada à energia $ E $ do sistema. Usando conservação de energia e relacionando com a excentricidade, obtemos:
varepsilon
E para $ \beta $:
beta

Passo 8

Agora, juntando tudo, temos que a trajetória é dada por:
1r = 1 + varepsilon cos(beta theta)a(1 - varepsilon^2)
Isso representa uma elipse que precessa, ou seja, a orientação da elipse muda com o tempo devido à pequena perturbação $ \alpha/r^{3} $.

Passo 9

Passando para a parte b), precisamos determinar o sentido da precessão dependendo do sinal de $ \alpha $.
Quando $ \alpha > 0 $:
alpha
Isso implica que a precessão é no sentido anti-horário (direção positiva de $ \theta $).
Quando $ \alpha < 0 $:
alpha > 0
Aqui, a precessão ocorre no sentido horário (direção negativa de $ \theta $).

Resposta

a) A trajetória da partícula é dada por:
1r = 1 + varepsilon cos(beta theta)a(1 - varepsilon^2)
onde:
a = mL^2K, varepsilon = raiz1 - L^2mKa^2, beta = raiz1 + alphamL^2
b) A precessão da elipse ocorre no sentido anti-horário quando $ \alpha > 0 $ e no sentido horário quando $ \alpha < 0 $.

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