4.
Uma partícula de massa
move-se sob a ação de uma força central
, onde
é uma constante positiva e
é uma constante pequena. Considere o caso do movimento confinado com
, sendo
o momento angular da partícula.
a) Mostre que a trajetória é dada por uma equação do tipo
que representa uma elipse que precessiona. Dê as expressões de
, de
e de
em termos de
,
e
.
b) Determine o sentido da precessão para
e
.
a) Mostre que a trajetória é dada por uma equação do tipo
b) Determine o sentido da precessão para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula sob a influência de uma força central que depende de $ r $. A matéria principal aqui é Mecânica Clássica, mais especificamente, movimento sob força central. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como força central, momento angular, e como pequenas perturbações afetam a trajetória da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a força central dada:
Aqui, $ K $ é uma constante positiva e $ \alpha $ é uma constante pequena. A força tem duas partes: uma que se comporta como a força gravitacional ou Coulombiana ($ -\frac{K}{r^2}
\frac{\alpha}{r^3} $).
Passo 3
Para estudar a trajetória, usamos a segunda lei de Newton na forma radial. Sabemos que para movimento central, a equação é:
Mas é mais prático usar a equação de movimento para $ u = \frac{1}{r} $, onde $ u $ é função de $ \theta $. Com uma mudança de variável, a equação se torna:
Aqui, $ L $ é o momento angular da partícula, que é constante para movimento central.
Passo 4
Vamos substituir a força $ F® $ na equação. Primeiro, reescrevemos $ F® $ em termos de $ u $:
Substituindo na equação de $ u $:
Passo 5
Simplificando a equação:
Podemos reescrever isso como:
Vamos chamar $ \beta^{2} = 1 + \frac{\alpha}{mL^{2}} $, então:
Passo 6
A solução da equação diferencial homogênea associada é:
Como a trajetória é fechada, podemos assumir que a solução é do tipo:
Comparando com a solução geral, identificamos que:
Passo 7
Agora, vamos ajustar as expressões para $ a $, $ \varepsilon $ e $ \beta $:
Para $ \varepsilon $, considerando pequenas perturbações, a excentricidade pode ser ligada à energia $ E $ do sistema. Usando conservação de energia e relacionando com a excentricidade, obtemos:
E para $ \beta $:
Passo 8
Agora, juntando tudo, temos que a trajetória é dada por:
Isso representa uma elipse que precessa, ou seja, a orientação da elipse muda com o tempo devido à pequena perturbação $ \alpha/r^{3} $.
Passo 9
Passando para a parte b), precisamos determinar o sentido da precessão dependendo do sinal de $ \alpha $.
Quando $ \alpha > 0 $:
Isso implica que a precessão é no sentido anti-horário (direção positiva de $ \theta $).
Quando $ \alpha < 0 $:
Aqui, a precessão ocorre no sentido horário (direção negativa de $ \theta $).
Resposta
a) A trajetória da partícula é dada por:
onde:
b) A precessão da elipse ocorre no sentido anti-horário quando $ \alpha > 0 $ e no sentido horário quando $ \alpha < 0 $.