Uma partícula de massa
movimenta-se num círculo horizontal de raio
, sobre uma mesa áspera. A partícula está ligada por um cordel a um pino fixo no centro do círculo. A velocidade inicial da partícula é
. Depois de completar uma volta, a velocidade da partícula é
. a) Calcule o trabalho efetuado pelo atrito durante uma volta. b) Qual o coeficiente de atrito cinético? c) Quantas voltas mais a partícula fará até ficar em repouso? (Resp. a)
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado).
- Uma partícula de massa
descreve um círculo horizontal de raio presa por um cordel ao ponto central. - A superfície é áspera, com atrito cinético (coeficiente
desconhecido). - Velocidade inicial:
. - Depois de completar uma volta (isto é, após percorrer o comprimento
), a velocidade passa a ser .
O enunciado pede:
(a) calcular o trabalho efetuado pelo atrito durante uma volta;
(b) achar o coeficiente de atrito cinético;
(c) determinar quantas voltas mais a partícula fará até parar.
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar e por que:
- Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado sobre a partícula altera sua energia cinética. Como outros trabalhos (por exemplo o da tensão) podem existir, é preciso ver quais fazem trabalho ao longo do deslocamento.
- A tensão no cordel é radial e o deslocamento da partícula é tangencial ao círculo; portanto a tensão não realiza trabalho (força perpendicular ao deslocamento faz trabalho zero).
- O único trabalho que dissipa energia cinética aqui é o trabalho do atrito cinético, que é uma força tangencial constante de módulo
(normal vale num plano horizontal). - Trabalho de uma força constante ao longo de um deslocamento
é (negativo porque o atrito se opõe ao movimento).
Essas ideias combinadas permitem usar diretamente o teorema trabalho-energia restringido ao trabalho do atrito:
Passo 3
Calcular o trabalho do atrito durante a primeira volta usando a variação da energia cinética.
- Energia cinética inicial:
- Energia cinética após uma volta (velocidade
):
- Mudança de energia cinética:
Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho do atrito durante uma volta é exatamente essa variação:
(Isto tem sentido: é negativo porque o atrito retira energia do sistema.)
Passo 4
Determinar o coeficiente de atrito
a partir do trabalho calculado e da expressão do trabalho de uma força constante.
- Módulo da força de atrito cinético:
. - Deslocamento numa volta:
. - Trabalho do atrito (pela definição de força times deslocamento, com sinal negativo porque é oposto ao movimento):
Igualando essa expressão ao valor obtido pelo teorema energia:
Cancelar o sinal negativo em ambos os lados e também
(não nulo):
Isolando
:
Passo 5
Agora vamos calcular quantas voltas mais a partícula fará até ficar em repouso. Ideia: o atrito retira a mesma quantidade de energia em cada volta (força e deslocamento constantes), então a perda de energia por volta é constante.
- Energia perdida por volta (módulo) já calculada:
- Depois da primeira volta a energia cinética remanescente é
(ver Passo 3). - Supondo que a cada volta subsequente se perde sempre a mesma energia
, o número de voltas adicionais necessárias para que a energia remanescente chegue a zero satisfaz:
Substituindo números:
Cancelar
em ambos os termos:
Interpretando: a partícula fará apenas mais
de uma volta antes de parar (ou seja, um terço da circunferência).
Passo 6
Resumo físico e checagens rápidas (para te deixar confiante):
- O trabalho negativo do atrito consumiu energia cinética; por isso o sinal negativo em (a).
- O coeficiente
não depende de porque a massa cancela nas equações de energia e força normal. - Que a partícula percorra só
de volta adicional é razoável: após a primeira volta a velocidade já é pequena ( ), logo resta pouca energia para dissipar.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)