Uma partícula de massa m movimenta-se num círculo horizontal de raio r, sobre uma mesa áspera. A partícula está ligada por um cordel a um pino fixo no centro do círculo. A velocidade inicial da partícula é v_{o}. Depois de completar uma volta, a velocidade da partícula é v_{o} / 2. a) Calcule o trabalho efetuado pelo atrito durante uma volta. b) Qual o coeficiente de atrito cinético? c) Quantas voltas mais a partícula fará até ficar em repouso? (Resp. a) \left.\left.-\frac{3}{8} m v_{o}^{2} ; b\right) \mu=\frac{3 v_{o}^{2}}{16 \pi r g} ; c\right) 1 / 3 )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado).
  • Uma partícula de massa m descreve um círculo horizontal de raio r presa por um cordel ao ponto central.
  • A superfície é áspera, com atrito cinético (coeficiente \mu desconhecido).
  • Velocidade inicial: \,v_{0}.
  • Depois de completar uma volta (isto é, após percorrer o comprimento 2\pi r), a velocidade passa a ser \,v_{0}/2.
    O enunciado pede:
    (a) calcular o trabalho efetuado pelo atrito durante uma volta;
    (b) achar o coeficiente de atrito cinético \mu;
    (c) determinar quantas voltas mais a partícula fará até parar.

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar e por que:
  • Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado sobre a partícula altera sua energia cinética. Como outros trabalhos (por exemplo o da tensão) podem existir, é preciso ver quais fazem trabalho ao longo do deslocamento.
  • A tensão no cordel é radial e o deslocamento da partícula é tangencial ao círculo; portanto a tensão não realiza trabalho (força perpendicular ao deslocamento faz trabalho zero).
  • O único trabalho que dissipa energia cinética aqui é o trabalho do atrito cinético, que é uma força tangencial constante de módulo f_k=\mu m g (normal vale N=mg num plano horizontal).
  • Trabalho de uma força constante ao longo de um deslocamento s é W = \vec{F}\cdot\vec{s} = -f_k s (negativo porque o atrito se opõe ao movimento).
Essas ideias combinadas permitem usar diretamente o teorema trabalho-energia restringido ao trabalho do atrito:
W_{\text{atrito}}=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.

Passo 3

Calcular o trabalho do atrito durante a primeira volta usando a variação da energia cinética.
  • Energia cinética inicial:
K_i=\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2}.
  • Energia cinética após uma volta (velocidade \,v_{0}/2):
K_f=\tfrac{1}{2}m\left(\dfrac{v_{0}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}m\cdot\dfrac{v_{0}^{2}}{4}=\tfrac{1}{8}m v_{0}^{2}.
  • Mudança de energia cinética:
\Delta K=K_{f}-K_{i}=\tfrac{1}{8}m v_{0}^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2}=\left(\tfrac{1}{8}-\tfrac{4}{8}\right)m v_{0}^{2}=-\tfrac{3}{8}m v_{0}^{2}.
Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho do atrito durante uma volta é exatamente essa variação:
W_{\text{atrito}}=-\tfrac{3}{8}m v_{0}^{2}.
(Isto tem sentido: é negativo porque o atrito retira energia do sistema.)

Passo 4

Determinar o coeficiente de atrito \mu a partir do trabalho calculado e da expressão do trabalho de uma força constante.
  • Módulo da força de atrito cinético: f_{k}=\mu m g.
  • Deslocamento numa volta: s=2\pi r.
  • Trabalho do atrito (pela definição de força times deslocamento, com sinal negativo porque é oposto ao movimento):
W_{\text{atrito}}=-f_{k}\,s=-\mu m g\cdot 2\pi r.
Igualando essa expressão ao valor obtido pelo teorema energia:
-\mu m g\cdot 2\pi r = -\tfrac{3}{8}m v_{0}^{2}.
Cancelar o sinal negativo em ambos os lados e também m (não nulo):
\mu\, 2\pi r g = \tfrac{3}{8} v_{0}^{2}.
Isolando \mu:
\mu = \dfrac{\tfrac{3}{8} v_{0}^{2}}{2\pi r g} = \dfrac{3 v_{0}^{2}}{16\pi r g}.

Passo 5

Agora vamos calcular quantas voltas mais a partícula fará até ficar em repouso. Ideia: o atrito retira a mesma quantidade de energia em cada volta (força e deslocamento constantes), então a perda de energia por volta é constante.
  • Energia perdida por volta (módulo) já calculada: \Delta E_{\text{por volta}}=\tfrac{3}{8}m v_{0}^{2}.
  • Depois da primeira volta a energia cinética remanescente é K_{1}=K_{f}=\tfrac{1}{8}m v_{0}^{2} (ver Passo 3).
  • Supondo que a cada volta subsequente se perde sempre a mesma energia \Delta E_{\text{por volta}}, o número n de voltas adicionais necessárias para que a energia remanescente chegue a zero satisfaz:
K_{1}-n\cdot\Delta E_{\text{por volta}}=0.
Substituindo números:
\tfrac{1}{8}m v_{0}^{2} - n\cdot\left(\tfrac{3}{8}m v_{0}^{2}\right)=0.
Cancelar \tfrac{1}{8}m v_{0}^{2} em ambos os termos:
1 - 3n = 0 \quad\Rightarrow\quad n=\tfrac{1}{3}.
Interpretando: a partícula fará apenas mais \tfrac{1}{3} de uma volta antes de parar (ou seja, um terço da circunferência).

Passo 6

Resumo físico e checagens rápidas (para te deixar confiante):
  • O trabalho negativo do atrito consumiu energia cinética; por isso o sinal negativo em (a).
  • O coeficiente \mu não depende de m porque a massa cancela nas equações de energia e força normal.
  • Que a partícula percorra só \tfrac{1}{3} de volta adicional é razoável: após a primeira volta a velocidade já é pequena ( v_{0}/2), logo resta pouca energia para dissipar.

Resposta

(a) -\tfrac{3}{8}m v_{0}^{2}
(b) \mu=\dfrac{3 v_{0}^{2}}{16\pi r g}
(c) \tfrac{1}{3}

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