Um remador de 75 kg , sentado na popa de uma canoa de 150 kg e 3 m de comprimento, consseguiu trazê-la para uma posição em que está parada perpendicularmnete à margem de um lago, que nesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numa estaca, onde o remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta e caminha até a proa, o que leva a canoa a fastar-se da margem. Chegando à proa, ele consegue, esticando o barço, alcançar até uma distância de 80 cm da proa. Conseguirá agarrar a estaca? Caso contrário, quanto falta? Considere o CM da canoa em seu ponto médio e despreze a resistência da água. (Resp. Não. 20 c m )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • Massa do remador: m=75\\ \text{kg}.
  • Massa da canoa: M=150\\ \text{kg}.
  • Comprimento da canoa: L=3{,}0\\ \text{m}.
  • O centro de massa (CM) da canoa está em seu ponto médio (ou seja, a L/2 da proa).
  • Inicialmente a proa está encostada na estaca (ou seja, distância proa–estaca igual a zero) e o remador está sentado na popa (no extremo oposto).
  • Ao se levantar e caminhar até a proa, a canoa desloca-se (por ausência de resistência da água, o sistema canoa+remador não recebe força horizontal externa).
  • Chegando à proa, o remador, esticando o braço, alcança até 0{,}80\\ \text{m} a partir da proa em direção à estaca.
O enunciado pede:
  • Será que o remador consegue agarrar a estaca?
  • Se não conseguir, quanto falta?

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática): como desprezamos qualquer força horizontal externa (resistência da água), a posição do centro de massa (CM) do sistema “canoa + remador” em relação à margem não muda durante o movimento. Ou seja, a coordenada do CM antes do remador caminhar é igual à coordenada do CM depois.
Fórmula do centro de massa no eixo horizontal (linha da canoa):
x_{\rm CM}=\frac{M\,x_{\rm canoa}+m\,x_{\rm remador}}{M+m},
onde
  • x_{\rm CM} é a posição do centro de massa do sistema em relação à estaca (medida ao longo da canoa),
  • x_{\rm canoa} é a coordenada do centro de massa da canoa,
  • x_{\rm remador} é a coordenada do remador,
  • M e m são as massas da canoa e do remador, respectivamente.

Passo 3

Escolha de eixo e posições iniciais (muito importante para não se perder):
  • Coloco a origem x=0 no ponto da estaca (onde a proa toca inicialmente) e tomo o sentido positivo para trás da canoa (do lado da popa).
  • Assim, inicialmente a proa está em x_{\rm proa,0}=0 e a popa (extremo oposto) em x_{\rm popa,0}=L=3{,}0\\ \text{m}.
  • O centro da canoa (CM da canoa) está no meio, então x_{\rm canoa,0}=\frac{L}{2}=1{,}5\\ \text{m}.
  • O remador está sentado na popa inicialmente, então x_{\rm remador,0}=3{,}0\\ \text{m}.
Calcule agora o CM inicial do sistema usando a fórmula:
x_{\rm CM,0}=\frac{M\,x_{\rm canoa,0}+m\,x_{\rm remador,0}}{M+m}.
Substituindo os números:
x_{\rm CM,0}=\frac{150\cdot 1{,}5 + 75\cdot 3{,}0}{150+75}.
Calcule passo a passo:
150\cdot 1{,}5 = 225,\qquad 75\cdot 3{,}0 = 225,
portanto o numerador é 225+225=450 e o denominador é 225. Logo
x_{\rm CM,0}=\frac{450}{225}=2{,}0\\ \text{m}.
Interpretação: o CM do sistema está a 2{,}0\\ \text{m} da estaca, medido ao longo da canoa, e esse valor não mudará durante o movimento.

Passo 4

Posições após o remador caminhar até a proa:
  • Seja x_b a posição final da proa em relação à estaca (isto é, a distância proa–estaca depois do deslocamento). Essa é a incógnita que queremos achar.
  • O CM da canoa, que está no meio, fica então em x_{\rm canoa,f}=x_b+\frac{L}{2}=x_b+1{,}5.
  • O remador, estando na proa, tem coordenada x_{\rm remador,f}=x_b.
Escrevemos a expressão do CM final:
x_{\rm CM,f}=\frac{M\,x_{\rm canoa,f}+m\,x_{\rm remador,f}}{M+m} =\frac{150\,(x_b+1{,}5)+75\,(x_b)}{225}.
Simplificando o numerador:
150x_b+225+75x_b=(150+75)x_b+225=225x_b+225.
Logo
x_{\rm CM,f}=\frac{225x_b+225}{225}=x_b+1{,}0.

Passo 5

Como não há movimento do CM do sistema,
x_{\rm CM,f}=x_{\rm CM,0}.
Substituindo os valores encontrados:
x_b+1{,}0 = 2{,}0.
Assim
x_b = 2{,}0 - 1{,}0 = 1{,}0\\ \text{m}.
Conclusão intermediária: a proa afasta-se da estaca até ficar a 1{,}0\\ \text{m} dela quando o remador está na proa.

Passo 6

Comparação com o alcance do remador:
  • O remador consegue, esticando o braço, alcançar até 0{,}80\\ \text{m} a partir da proa na direção da estaca.
  • Como a proa está a 1{,}0\\ \text{m} da estaca, a distância que falta para a mão dele atingir a estaca é
\Delta = 1{,}0 - 0{,}80 = 0{,}20\\ \text{m} = 20\\ \text{cm}.
Portanto ele não consegue agarrar a estaca; falta 20\\ \text{cm}.

Resposta

Não. 20\\ \text{cm}

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