Um remador de 75 kg , sentado na popa de uma canoa de 150 kg e 3 m de comprimento, consseguiu trazê-la para uma posição em que está parada perpendicularmnete à margem de um lago, que nesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numa estaca, onde o remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta e caminha até a proa, o que leva a canoa a fastar-se da margem. Chegando à proa, ele consegue, esticando o barço, alcançar até uma distância de 80 cm da proa. Conseguirá agarrar a estaca? Caso contrário, quanto falta? Considere o CM da canoa em seu ponto médio e despreze a resistência da água. (Resp. Não.
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
- Massa do remador:
. - Massa da canoa:
. - Comprimento da canoa:
. - O centro de massa (CM) da canoa está em seu ponto médio (ou seja, a
da proa). - Inicialmente a proa está encostada na estaca (ou seja, distância proa–estaca igual a zero) e o remador está sentado na popa (no extremo oposto).
- Ao se levantar e caminhar até a proa, a canoa desloca-se (por ausência de resistência da água, o sistema canoa+remador não recebe força horizontal externa).
- Chegando à proa, o remador, esticando o braço, alcança até
a partir da proa em direção à estaca.
O enunciado pede:
- Será que o remador consegue agarrar a estaca?
- Se não conseguir, quanto falta?
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática): como desprezamos qualquer força horizontal externa (resistência da água), a posição do centro de massa (CM) do sistema “canoa + remador” em relação à margem não muda durante o movimento. Ou seja, a coordenada do CM antes do remador caminhar é igual à coordenada do CM depois.
Fórmula do centro de massa no eixo horizontal (linha da canoa):
onde
-
é a posição do centro de massa do sistema em relação à estaca (medida ao longo da canoa), -
é a coordenada do centro de massa da canoa, -
é a coordenada do remador, -
e são as massas da canoa e do remador, respectivamente.
Passo 3
Escolha de eixo e posições iniciais (muito importante para não se perder):
- Coloco a origem
no ponto da estaca (onde a proa toca inicialmente) e tomo o sentido positivo para trás da canoa (do lado da popa). - Assim, inicialmente a proa está em
e a popa (extremo oposto) em . - O centro da canoa (CM da canoa) está no meio, então
- O remador está sentado na popa inicialmente, então
Calcule agora o CM inicial do sistema usando a fórmula:
Substituindo os números:
Calcule passo a passo:
portanto o numerador é
e o denominador é
. Logo
Interpretação: o CM do sistema está a
da estaca, medido ao longo da canoa, e esse valor não mudará durante o movimento.
Passo 4
Posições após o remador caminhar até a proa:
- Seja
a posição final da proa em relação à estaca (isto é, a distância proa–estaca depois do deslocamento). Essa é a incógnita que queremos achar. - O CM da canoa, que está no meio, fica então em
- O remador, estando na proa, tem coordenada
Escrevemos a expressão do CM final:
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 5
Como não há movimento do CM do sistema,
Substituindo os valores encontrados:
Assim
Conclusão intermediária: a proa afasta-se da estaca até ficar a
dela quando o remador está na proa.
Passo 6
Comparação com o alcance do remador:
- O remador consegue, esticando o braço, alcançar até
a partir da proa na direção da estaca. - Como a proa está a
da estaca, a distância que falta para a mão dele atingir a estaca é
Portanto ele não consegue agarrar a estaca; falta
.
Resposta
Não.