Uma pedra de peso w é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v_{o}. Suponha que uma força constante f, devido a resistência do ar, atue sobre a pedra durante todo o percurso. Use a conservação da energia e mostre que : a) a altura máxima atingida pela pedra é h=\frac{v_{o}^{2}}{2 g(1+f / g)}; b) a velocidade com que a pedra cai ao chão é v=v_{o} \sqrt{\frac{w-f}{w+f}}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados (peguei tudo do enunciado):
    • Uma pedra tem peso w. (Peso é a força w=m g, onde m é a massa da pedra e g a aceleração da gravidade.)
    • Velocidade inicial vertical para cima: v_{0}.
    • Existe uma força de resistência do ar constante de módulo f que atua sempre contrária ao movimento (ou seja, para cima quando a pedra sobe e para baixo quando a pedra desce).
    • A gravidade aponta para baixo com aceleração g.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) determinar a altura máxima h atingida pela pedra;
    • (b) determinar a velocidade v com que a pedra volta e atinge o chão.
  • Observações importantes para usar depois:
    • A força de resistência f faz trabalho não conservativo; ao aplicar conservação de energia precisaremos incluir o trabalho dessa força.
    • Vou usar a relação entre peso e massa: w=m g.

Passo 2

Princípio de conservação de energia com forças não conservativas (aula rápida e prática).
  • Para um objeto sujeito a forças conservativas (gravidade) e a uma força não conservativa constante (resistência), a forma útil da conservação de energia é:
\Delta K + \Delta U = W_{\text{nc}},
onde \Delta K é variação da energia cinética, \Delta U variação da energia potencial gravitacional, e W_{\text{nc}} é o trabalho realizado pelas forças não conservativas (aqui: resistência do ar).
  • Sinais: se uma força não conservativa retira energia do sistema (como a resistência), então W_{\text{nc}} é negativo (ou podemos escrevê-lo explicitamente como -f vezes o deslocamento, cuidando do sentido).

Passo 3

Calcular a altura máxima h usando energia entre o ponto inicial (lançamento) e o ponto mais alto.
  • No lançamento (ponto inicial): energia cinética K_i=\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}, energia potencial U_i=0 (escolho o solo como referência de potencial).
  • No ponto mais alto: velocidade zero, então K_f=0; energia potencial aumentou para U_f=m g h.
  • Trabalho da resistência durante a subida: a resistência tem magnitude f e atua sempre para baixo quando a pedra sobe, o deslocamento é para cima de comprimento h, portanto o trabalho da resistência sobre a pedra é
W_{\text{res}} = -f h.
  • Aplicando a fórmula \Delta K + \Delta U = W_{\text{nc}}:
K_f - K_i + U_f - U_i = W_{\text{res}}.
Substituindo os valores:
0 - \frac{1}{2}m v_{0}^{2} + m g h - 0 = -f h.
Reorganizando:
\frac{1}{2}m v_{0}^{2} = m g h + f h = (m g + f)\,h.
  • Isolando h:
h = \frac{\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2}}{m g + f} = \frac{m v_{0}^{2}}{2(m g + f)}.
  • Agora escrevo em termos do peso w=m g. Como m=\dfrac{w}{g}, substituo:
h = \frac{\tfrac{w}{g} v_{0}^{2}}{2(w + f)} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g\!\left(1+\dfrac{f}{w}\right)}.
Esse é o resultado para a altura máxima. (Verificação rápida de limite: se f=0 recupera h=v_{0}^{2}/(2g), OK.)

Passo 4

Calcular a velocidade v ao chegar ao chão (usando energia entre o topo e o solo).
  • No topo: energia cinética nula ( K_{\text{top}}=0), energia potencial U_{\text{top}}=m g h.
  • No chão antes do impacto: energia potencial 0, energia cinética K_{\text{chão}}=\dfrac{1}{2}m v^{2}ã.
  • Trabalho da resistência durante a descida: agora a deslocamento é para baixo e a resistência atua para cima, portanto novamente a resistência retira energia e o trabalho que ela executa sobre a pedra durante a descida é
W_{\text{res, descida}} = -f h.
  • Aplicando \Delta K + \Delta U = W_{\text{nc}} entre topo e chão:
\frac{1}{2}m v^{2} - 0 + 0 - m g h = -f h.
Ou seja:
\frac{1}{2}m v^{2} = m g h - f h = (m g - f)\,h.
  • Isolando v^{2}:
v^{2} = \frac{2(m g - f)h}{m} = 2\bigl(g - \tfrac{f}{m}\bigr)h.
  • Substituo o valor de h obtido no passo anterior:
v^{2} = 2\bigl(g - \tfrac{f}{m}\bigr)\cdot \frac{v_{0}^{2}}{2\bigl(g + \tfrac{f}{m}\bigr)} = v_{0}^{2}\,\frac{g - \tfrac{f}{m}}{g + \tfrac{f}{m}}.
  • Expresso em termos do peso w=m g. Note que m g=w, então g\pm \tfrac{f}{m}=\dfrac{w\pm f}{m}. Assim
\frac{g - \tfrac{f}{m}}{g + \tfrac{f}{m}} = \frac{\tfrac{w-f}{m}}{\tfrac{w+f}{m}}=\frac{w-f}{w+f}.
Logo
v^{2}=v_{0}^{2}\,\frac{w-f}{w+f},
e tomando raiz positiva (velocidade em módulo ao atingir o chão):
v = v_{0}\sqrt{\frac{w-f}{w+f}}.
  • Cheque de consistência: se f=0 obtemos v=v_{0}; se f se aproxima de w a velocidade tende a zero (toda a energia é dissipada pela resistência), faz sentido físico.

Resposta

(a) h=\dfrac{v_{0}^{2}}{2 g\!\left(1+\dfrac{f}{w}\right)}
(b) v=v_{0}\sqrt{\dfrac{w-f}{w+f}}

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