Uma pedra de peso
é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial
. Suponha que uma força constante
, devido a resistência do ar, atue sobre a pedra durante todo o percurso. Use a conservação da energia e mostre que : a) a altura máxima atingida pela pedra é
; b) a velocidade com que a pedra cai ao chão é
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Dados (peguei tudo do enunciado):
- Uma pedra tem peso
. (Peso é a força , onde é a massa da pedra e a aceleração da gravidade.) - Velocidade inicial vertical para cima:
. - Existe uma força de resistência do ar constante de módulo
que atua sempre contrária ao movimento (ou seja, para cima quando a pedra sobe e para baixo quando a pedra desce). - A gravidade aponta para baixo com aceleração
.
- Uma pedra tem peso
- O que o enunciado pede:
- (a) determinar a altura máxima
atingida pela pedra; - (b) determinar a velocidade
com que a pedra volta e atinge o chão.
- (a) determinar a altura máxima
- Observações importantes para usar depois:
- A força de resistência
faz trabalho não conservativo; ao aplicar conservação de energia precisaremos incluir o trabalho dessa força. - Vou usar a relação entre peso e massa:
.
- A força de resistência
Passo 2
Princípio de conservação de energia com forças não conservativas (aula rápida e prática).
- Para um objeto sujeito a forças conservativas (gravidade) e a uma força não conservativa constante (resistência), a forma útil da conservação de energia é:
onde
é variação da energia cinética,
variação da energia potencial gravitacional, e
é o trabalho realizado pelas forças não conservativas (aqui: resistência do ar).
- Sinais: se uma força não conservativa retira energia do sistema (como a resistência), então
é negativo (ou podemos escrevê-lo explicitamente como vezes o deslocamento, cuidando do sentido).
Passo 3
Calcular a altura máxima
usando energia entre o ponto inicial (lançamento) e o ponto mais alto.
- No lançamento (ponto inicial): energia cinética
, energia potencial (escolho o solo como referência de potencial). - No ponto mais alto: velocidade zero, então
; energia potencial aumentou para . - Trabalho da resistência durante a subida: a resistência tem magnitude
e atua sempre para baixo quando a pedra sobe, o deslocamento é para cima de comprimento , portanto o trabalho da resistência sobre a pedra é
- Aplicando a fórmula
:
Substituindo os valores:
Reorganizando:
- Isolando
:
- Agora escrevo em termos do peso
. Como , substituo:
Esse é o resultado para a altura máxima. (Verificação rápida de limite: se
recupera
, OK.)
Passo 4
Calcular a velocidade
ao chegar ao chão (usando energia entre o topo e o solo).
- No topo: energia cinética nula (
), energia potencial . - No chão antes do impacto: energia potencial
, energia cinética . - Trabalho da resistência durante a descida: agora a deslocamento é para baixo e a resistência atua para cima, portanto novamente a resistência retira energia e o trabalho que ela executa sobre a pedra durante a descida é
- Aplicando
entre topo e chão:
Ou seja:
- Isolando
:
- Substituo o valor de
obtido no passo anterior:
- Expresso em termos do peso
. Note que , então . Assim
Logo
e tomando raiz positiva (velocidade em módulo ao atingir o chão):
- Cheque de consistência: se
obtemos ; se se aproxima de a velocidade tende a zero (toda a energia é dissipada pela resistência), faz sentido físico.
Resposta
(a)
(b)