Uma partícula, com massa de repouso
e energia cinética
colide inelasticamente com uma outra partícula de massa de repouso
que se encontra em repouso. O resultado desta colisão é a formação de uma única partícula, com massa de repouso
e velocidade
.
© (1,0 ponto) Calcule a velocidade
e a massa
da partícula resultante. Expresse sua resposta em termos de
e
.
© (1,0 ponto) Calcule a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos duas partículas colidindo de forma inelástica. A primeira partícula tem massa de repouso $ m_{0} $ e energia cinética $ K = 2 m_{0} c^{2} $, e a segunda partícula tem massa de repouso $ 2 m_{0} $ e está parada. Após a colisão, elas se juntam formando uma única partícula com massa de repouso $ M_{0} $ e velocidade $ V $.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de energia e momento na relatividade. Especificamente, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento e a conservação da energia total.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia total da primeira partícula antes da colisão. Na relatividade, a energia total $ E $ de uma partícula é dada por:
onde $ \gamma $ é o fator de Lorentz, definido por:
Como a partícula está em movimento, precisamos encontrar $ \gamma $ usando a energia cinética fornecida $ K = 2 m_{0} c^{2} $. A relação entre energia cinética e energia total é:
Então,
Passo 3
Com $ \gamma = 3 $, podemos encontrar a velocidade $ v $ da primeira partícula antes da colisão. A fórmula para $ \gamma $ é:
Resolvendo para $ v $:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a conservação do momento. Antes da colisão, apenas a primeira partícula está em movimento, então o momento total inicial $ p_{i} $ é:
Após a colisão, temos uma única partícula com massa $ M_{0} $ e velocidade $ V $, então o momento final $ p_{f} $ é:
Como a quantidade de movimento é conservada:
Passo 5
Também precisamos aplicar a conservação da energia total. A energia total antes da colisão é a soma das energias das duas partículas:
Após a colisão, a energia total é:
Conservando a energia:
Passo 6
Agora temos duas equações:
- $ \gamma’ M_{0} = 5 m_{0} $
- $ \gamma’ M_{0} V = 2 \sqrt{2} m_{0} c $
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ \gamma’ M_{0} $:
Passo 7
Agora que temos $ V = \frac{2 \sqrt{2}}{5} c $, podemos encontrar $ \gamma’ $:
Usando a primeira equação $ \gamma’ M_{0} = 5 m_{0} $:
Resposta
A velocidade da partícula resultante é $ V = \dfrac{2 \sqrt{2}}{5} c $ e a massa de repouso é $ M_{0} = \sqrt{17}, m_{0} $.