Uma partícula, com massa de repouso m0 e energia cinética K=2 m0 c^2 colide inelasticamente com uma outra partícula de massa de repouso 2 m0 que se encontra em repouso. O resultado desta colisão é a formação de uma única partícula, com massa de repouso M0 e velocidade V.
© (1,0 ponto) Calcule a velocidade V e a massa M0 da partícula resultante. Expresse sua resposta em termos de c e m0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos duas partículas colidindo de forma inelástica. A primeira partícula tem massa de repouso $ m_{0} $ e energia cinética $ K = 2 m_{0} c^{2} $, e a segunda partícula tem massa de repouso $ 2 m_{0} $ e está parada. Após a colisão, elas se juntam formando uma única partícula com massa de repouso $ M_{0} $ e velocidade $ V $.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de energia e momento na relatividade. Especificamente, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento e a conservação da energia total.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia total da primeira partícula antes da colisão. Na relatividade, a energia total $ E $ de uma partícula é dada por:
E
onde $ \gamma $ é o fator de Lorentz, definido por:
E = gamma m0 c^2
Como a partícula está em movimento, precisamos encontrar $ \gamma $ usando a energia cinética fornecida $ K = 2 m_{0} c^{2} $. A relação entre energia cinética e energia total é:
gamma
Então,
gamma = 1raiz1 - v^2c^2

Passo 3

Com $ \gamma = 3 $, podemos encontrar a velocidade $ v $ da primeira partícula antes da colisão. A fórmula para $ \gamma $ é:
gamma = 3
Resolvendo para $ v $:
v

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação do momento. Antes da colisão, apenas a primeira partícula está em movimento, então o momento total inicial $ p_{i} $ é:
pi
Após a colisão, temos uma única partícula com massa $ M_{0} $ e velocidade $ V $, então o momento final $ p_{f} $ é:
pi = gamma m0 v = 3 m0 times 2 raiz23 c = 2 raiz2 m0 c
Como a quantidade de movimento é conservada:
M0

Passo 5

Também precisamos aplicar a conservação da energia total. A energia total antes da colisão é a soma das energias das duas partículas:
Ei = gamma m0 c^2 + 2 m0 c^2 = 3 m0 c^2 + 2 m0 c^2 = 5 m0 c^2
Após a colisão, a energia total é:
Ef = gamma' M0 c^2
Conservando a energia:
Ei = Ef Rightarrow 5 m0 c^2 = gamma' M0 c^2 Rightarrow gamma' M0 = 5 m0

Passo 6

Agora temos duas equações:
  1. $ \gamma’ M_{0} = 5 m_{0} $
  2. $ \gamma’ M_{0} V = 2 \sqrt{2} m_{0} c $
Podemos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar $ \gamma’ M_{0} $:

Passo 7

Agora que temos $ V = \frac{2 \sqrt{2}}{5} c $, podemos encontrar $ \gamma’ $:
V = 2 raiz25 c
Usando a primeira equação $ \gamma’ M_{0} = 5 m_{0} $:
gamma'

Resposta

A velocidade da partícula resultante é $ V = \dfrac{2 \sqrt{2}}{5} c $ e a massa de repouso é $ M_{0} = \sqrt{17}, m_{0} $.

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