Q9: Uma partícula de massa de repouso m e 4 -momento \vec{P} é examinada por um observador com 4-velocidade \vec{U}. Demonstre que:
(a) a energia ele mede é E=\vec{P} \cdot \vec{U}.
(b) a massa de repouso atribuído por ele à partícula é m^{2}=\vec{P} \cdot \vec{P};
(c) o 3-momento ele mede tem magnitude \sqrt{(\vec{P} \cdot \vec{U})^{2}+\vec{P} \cdot \vec{P}};
(d) a 3-velocidade ele mede tem magnitude \sqrt{1+\vec{P} \cdot \vec{P} /(\vec{P} \cdot \vec{U})^{2}};
Passo 1
O enunciado dá a quatro-velocidade do observador \vec U, normalizada pelo critério
\vec U\cdot\vec U = 1,
e o quatro-momento da partícula \vec P. Queremos expressar, do ponto de vista desse observador, a energia medida E, a massa de repouso, o módulo do três-momento e o módulo da três-velocidade em termos dos produtos escalares \vec P\cdot\vec U e \vec P\cdot\vec P.
Passo 2
Para mostrar que a energia que o observador mede é
E = \vec P\cdot\vec U,
basta notar que, na base do observador, sua quatro-velocidade é \vec U=(1,0,0,0),
de modo que
\vec P\cdot\vec U = P^{0} = E.
Como o produto escalar de quatro-vetores é invariante de Lorentz, essa relação vale em qualquer base.
Passo 3
A massa de repouso atribuída à partícula é definida pela norma quadrática do quatro-momento, isto é,
m^{2} = \vec P\cdot\vec P.
Isso decorre diretamente da definição de quatro-momento relativístico e da invariância de sua norma.
Passo 4
Para obter o módulo do três-momento medido pelo observador, decomponha
\vec P = (\vec P\cdot\vec U)\,\vec U + \vec P_{\perp},
onde \vec P_{\perp} satisfaz \vec U\cdot\vec P_{\perp}=0. Então
\vec P_{\perp} = \vec P - (\vec P\cdot\vec U)\,\vec U