Q6: Vimos que a fórmula relativística para composição de velocidades tem a forma
onde
e a velocidade de referencial
em relação a O , e
e a velocidade de referencial
em relação a
.
Demonstre que, em termos da celeridade,
, a lei de composição é simplesmente
(Dica: use a matriz da transformação de Lorentz escrita em termos da celeridade).
Partindo de um referencial em repouso, quantos incrementos sucessivos de
são necessários para obter uma velocidade final de: (i)
, (ii)
?
Seja
. Demonstre que
incrementos sucessivos de velocidade
de um referencial em repouso produzem uma velocidade final
Demonstre que, quando
, o limite da velocidade é
.
Partindo de um referencial em repouso, quantos incrementos sucessivos de
Passo 1
O enunciado trata da composição relativística de velocidades, dada por
e pede para mostrar que, em termos da celeridade (rapidez)
, definindo
, a lei fica simplesmente
Além disso, partindo de repouso e aplicando incrementos sucessivos de velocidade
, devemos achar quantos incrementos são necessários para atingir (i)
e (ii)
, depois derivar a fórmula geral para
incrementos e mostrar que, quando
, a velocidade tende a
.
Passo 2
Sabendo que
usamos a identidade de soma de tangentes hiperbólicas:
Isto mostra que, se
é a composição de
e
, então
Passo 3
Cada incremento
corresponde a
Após
incrementos, a rapidez total é
e a velocidade resultante é
Para atingir
, precisamos
Para
,
Passo 4
Usando a fórmula geral de soma múltipla,
logo a velocidade após
incrementos de rapidez
é
Passo 5
Quando
,
e
Resposta
Para incrementos de
(i)
(ii)
Velocidade após
e
.