Q6: Vimos que a fórmula relativística para composição de velocidades tem a forma
v=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+v_{1} v_{2} / c^{2}} \Rightarrow \beta=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1} \beta_{2}},
onde v_{1} e a velocidade de referencial \mathrm{O}_{1} em relação a O , e v_{2} e a velocidade de referencial \mathrm{O}_{2} em relação a \mathrm{O}_{1}.
Demonstre que, em termos da celeridade, \varphi, a lei de composição é simplesmente
\varphi=\phi_{1}+\phi_{2} .
(Dica: use a matriz da transformação de Lorentz escrita em termos da celeridade).
Partindo de um referencial em repouso, quantos incrementos sucessivos de c / 2 são necessários para obter uma velocidade final de: (i) 0,99 c, (ii) 0,999 c ?
Seja \operatorname{tgh}(\varphi)=\beta. Demonstre que n incrementos sucessivos de velocidade v de um referencial em repouso produzem uma velocidade final
\frac{c\left(e^{2 n \varphi}-1\right)}{e^{2 n \varphi}+1}
Demonstre que, quando n \rightarrow \infty, o limite da velocidade é c.

Passo 1

O enunciado trata da composição relativística de velocidades, dada por
v=\frac{v_{1}+v_{2}}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad \beta=\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}},
e pede para mostrar que, em termos da celeridade (rapidez) \varphi, definindo \beta=\operatorname{tanh}\varphi, a lei fica simplesmente
\varphi=\phi_{1}+\phi_{2}.
Além disso, partindo de repouso e aplicando incrementos sucessivos de velocidade v=c/2, devemos achar quantos incrementos são necessários para atingir (i) 0,99\,c e (ii) 0,999\,c, depois derivar a fórmula geral para n incrementos e mostrar que, quando n\to\infty, a velocidade tende a c.

Passo 2

Sabendo que
\beta_{i}=\operatorname{tanh}\phi_{i},
usamos a identidade de soma de tangentes hiperbólicas:
\operatorname{tanh}(\phi_{1}+\phi_{2}) =\frac{\operatorname{tanh}\phi_{1}+\operatorname{tanh}\phi_{2}}{1+\operatorname{tanh}\phi_{1}\,\operatorname{tanh}\phi_{2}} =\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{1+\beta_{1}\beta_{2}} =\beta.
Isto mostra que, se \beta é a composição de \beta_{1} e \beta_{2}, então
\varphi=\phi_{1}+\phi_{2}.

Passo 3

Cada incremento v=c/2 corresponde a
\beta_{0}=\tfrac12, \quad \phi_{0}=\operatorname{arctanh}(\tfrac12) =\tfrac12\ln(3)\approx0{,}5493.
Após n incrementos, a rapidez total é \varphi=n\phi_{0} e a velocidade resultante é
\beta_{n}=\operatorname{tanh}(n\phi_{0}).
Para atingir \beta_{n}=0{,}99, precisamos
n\ge\frac{\operatorname{arctanh}(0{,}99)}{\phi_{0}} =\frac{\tfrac12\ln(199)}{0{,}5493}\approx4{,}82 \;\Longrightarrow\;n=5.
Para \beta_{n}=0{,}999,
n\ge\frac{\operatorname{arctanh}(0{,}999)}{\phi_{0}} =\frac{\tfrac12\ln(1999)}{0{,}5493}\approx6{,}92 \;\Longrightarrow\;n=7.

Passo 4

Usando a fórmula geral de soma múltipla,
\operatorname{tanh}(n\varphi) =\frac{e^{n\varphi}-e^{-n\varphi}}{e^{n\varphi}+e^{-n\varphi}} =\frac{e^{2n\varphi}-1}{e^{2n\varphi}+1},
logo a velocidade após n incrementos de rapidez \varphi é
v_{n} =c\,\operatorname{tanh}(n\varphi) =c\,\frac{e^{2n\varphi}-1}{e^{2n\varphi}+1}.

Passo 5

Quando n\to\infty, e^{2n\varphi}\to\infty e
\lim_{n\to\infty}v_{n} =c\lim_{n\to\infty}\frac{e^{2n\varphi}-1}{e^{2n\varphi}+1} =c\cdot1 =c.

Resposta

\varphi=\phi_{1}+\phi_{2}.
Para incrementos de c/2:
(i) n=5 para atingir 0,99\,c.
(ii) n=7 para atingir 0,999\,c.
Velocidade após n incrementos:
v_{n} =c\,\frac{e^{2n\varphi}-1}{e^{2n\varphi}+1},
e \lim_{n\to\infty}v_{n}=c.

Exercícios relacionados