Uma partícula de massa 1,6 times 10^-27 kg penetra em uma região com uma energia cinética de 3 times 10^-16 J onde existe um campo magnético uniforme de módulo 0,2 mu T. O vetor velocidade da partícula faz um ângulo de 60^circ com o vetor campo magnético. Determine a) a periodo do movimento; b) o passo e c) o raio r da trajetória helicoidal. (2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa 1,6 times 10^-27 kg que entra numa região com energia cinética de 3 times 10^-16 J. Nessa região, tem um campo magnético uniforme de 0,2 , muT. A velocidade da partícula faz um ângulo de 60^circ com o campo magnético. Precisamos encontrar:
a) O período do movimento da partícula;
b) O passo da trajetória helicoidal;
c) O raio r dessa trajetória.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento de partículas em campos magnéticos, envolvendo energia cinética, decomposição de vetores e movimentos circulares e helicoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula usando a energia cinética fornecida. A fórmula da energia cinética é:
Ek = 12 m v^2
Queremos achar v, então rearranjamos a fórmula:
v = raiz2 Ekm
Substituindo os valores:
v = raiz2 times 3 times 10^-16, J1,6 times 10^-27, kg
Calculando isso:
v = raiz6 times 10^-161,6 times 10^-27 = raiz3,75 times 10^11 approx 6,12 times 10^5, m/s
Então, a velocidade da partícula é aproximadamente 6,12 times 10^5 m/s.

Passo 3

Agora, vamos decompor essa velocidade em duas partes: uma paralela ao campo magnético e outra perpendicular a ele. Isso é importante porque a parte perpendicular será responsável pelo movimento circular, enquanto a parte paralela causará o deslocamento ao longo do campo, formando a trajetória helicoidal.
Usamos o ângulo de 60^circ:
vperp = v sin(theta) = 6,12 times 10^5 times sin(60^circ) approx 6,12 times 10^5 times 0,8660 approx 5,29 times 10^5, m/s
vparal<=l = v cos(theta) = 6,12 times 10^5 times cos(60^circ) approx 6,12 times 10^5 times 0,5 approx 3,06 times 10^5, m/s
Então, temos vperp approx 5,29 times 10^5 m/s e vparal<=l approx 3,06 times 10^5 m/s.

Passo 4

Para encontrar o período do movimento circular, usamos a fórmula do período para movimento circular uniforme em um campo magnético:
T = 2pi mq B
No entanto, falta a carga q da partícula. Como não foi fornecida, vamos considerar que a partícula é eletricamente carregada e lembramos que a força magnética é dada por:
F = q vperp B
E para o movimento circular, F = m vperp^2r. Igualando as duas expressões:
q vperp B = m vperp^2r Rightarrow r = m vperpq B
Como T = 2pi rvperp, substituindo r:
T = 2pi mq B
Mas sem a carga q, não podemos calcular numericamente. Parece que houve uma falta de informação no enunciado. Vamos assumir que a carga q é conhecida ou que precisamos expressar T em termos de q.

Passo 5

Assumindo que q é conhecido, o período T é:
T = 2pi mq B
Substituindo os valores:
T = 2pi times 1,6 times 10^-27, kgq times 0,2 times 10^-6, T
T = 3,2pi times 10^-27q times 0,2 times 10^-6 = 3,2pi times 10^-272 times 10^-7 q = 3,2pi2 times 10^-20 times 1q
T = 1,6pi times 10^-20 times 1q, s

Passo 6

Para o passo da trajetória helicoidal, que é a distância percorrida ao longo do campo magnético em um ciclo completo, usamos:
Passo = vparal<=l T
Substituindo T:
Passo = vparal<=l times 1,6pi times 10^-20 times 1q
Passo = 3,06 times 10^5, m/s times 1,6pi times 10^-20 times 1q approx 4,89 times 10^-15 times 1q, m

Passo 7

Finalmente, para o raio r da trajetória circular, usamos:
r = m vperpq B
Substituindo os valores:
r = 1,6 times 10^-27, kg times 5,29 times 10^5, m/sq times 0,2 times 10^-6, T = 8,464 times 10^-22q times 0,2 times 10^-6 = 8,464 times 10^-222 times 10^-7 q = 4,232 times 10^-15 times 1q, m

Resposta

a) O período do movimento é T = 1,6pi times 10^-20 times 1q segundos;
b) O passo da trajetória helicoidal é aproximadamente 4,89 times 10^-15 times 1q metros;
c) O raio da trajetória é r = 4,232 times 10^-15 times 1q metros.

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